实验探究：勾股定理的证明方法探究

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1、实验探究：勾股定理的证明方法探究勾股定理乂叫毕氏定理，是初等儿何的著名定理之一：在一个直角三角形中，斜边边长的平方等于两条直角边边长平方Z和.据考证，人类对这条定理的认识，少说也超过4000年！古埃及人在4500年前建造金字塔和测量尼罗河泛滥后的土地时，就广泛地使用勾股定理.古巴比伦（公元前1800到公元前1600年）的数学家也提出许多勾股数组.勾股定理是几何学中的明珠，充满魅力，于是千百年来，人们对它的证明趋之若鸳，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通百姓,也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统.也许是因为勾股定理既重要

2、又简单，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证・1940年出版过一木名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集T367种不同的证明方法.实际上还不止这些，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华衙芳就提供了二十多种精彩的证法.这是任何定理无法比拟的.下文选取部分较为精彩的证明方法，供同学们参考.方法1：课本方法：直接在直介三角形三边上画正方形，如图.利用三个正方形面积Z间的关系，从而得到直角三角形三边Z间的关系.基于完全可以接受的朴索观念，既直观又简单，任何人都看得懂.方法2

3、：在中国古代的数学家中，最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽.赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法，给岀了勾股定理的详细证明.在这幅“勾股圆方图”屮，以弦为边长得到的正方形ABDE是由4个相同的直介三角形再加上中间的那个小正方形组成的.每个直介三和形的面积为・；中间的小正方形边长为b-a,则面积为(b-a)2.于是便可得如下的式子：4X・+(b-a)2二c2,化简后便可得：a2+b2二c2・赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识.他用几何图形的截、害U、拼、补來证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具

4、直观性，为中国古代以形证数、形数统一，代数和儿何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范.方法3：美国第十七任总统J-A•加菲尔德(1831-1888)在学生时代对初等数学就具有强烈的兴趣和高超的才能，在1876年(当时他是众议院议员，5年后当选为美国总统)，给出了勾股定理一个漂亮的证明，证明的思路是利用等积思想，如下图.S梯形ABCD=■(a+b)2二■.①又S梯形ABCD=SAAED+SAEBC+SACED=B=■・②比较以上两式，便得a2+b2=c2・这一证明由于用了梯形面积公式和三角形面积公式，从而使证明相当简洁.从勾

5、股定理还推广出很多新的定理和应用，有兴趣的同学可以尝试证明•如：欧几里得在他的《几何原本》中给出了勾股定理的推广定理：“直角三角形斜边上的一个直边形，其面积为两直角边上两个与之相似的直边形面积之和.”从上面这一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三边为直径作圆，则以斜边为直径所作圆的面积等于以两直角边为直径所作两圆的面积和.”勾股定理还可以推广到空间：以直角三角形的三边为对应棱作相似多面体，则斜边上的多面体的表面积等于直角边上两个多面体表面积之和.若以直角三角形的三边为直径分别作球，则斜边上的球的表面积等于两直和边上所作两球

6、表面积之和.勾股定理是一个基本的几何定理，它是用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一•总之，在勾股定理探索的道路上，人们一步一步走向了数学殿堂.