关于极坐标的相关知识点(1)

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1、关于极坐标的相关知识点在平面内取一个定点O，叫极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面内任何一点M，用ρ表示线段OM的长度，θ表示从Ox到OM的角度，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角，有序数对(ρ,θ)就叫点M的极坐标，这样建立的坐标系叫做极坐标系。在极坐标中，x被ρcosθ代替，y被ρsinθ代替。ρ∧2=(x∧2+y∧2)极坐标系是一个二维坐标系统。该坐标系统中的点由一个夹角和一段相对中心点——极点（相当于我们较为熟知的直角坐标系中的原点）的距离来表示。极坐标系的应用领域十分广泛，包括数学、物理、工

2、程、航海以及机器人领域。在两点间的关系用夹角和距离很容易表示时，极坐标系便显得尤为有用；而在平面直角坐标系中，这样的关系就只能使用三角函数来表示。对于很多类型的曲线，极坐标方程是最简单的表达形式，甚至对于某些曲线来说，只有极坐标方程能够表示。正如所有的二维坐标系，极坐标系也有两个坐标轴：r（半径坐标）和θ（角坐标、极角或方位角，有时也表示为φ或t）。r坐标表示与极点的距离，θ坐标表示按逆时针方向坐标距离0°射线（有时也称作极轴）的角度，极轴就是在平面直角坐标系中的x轴正方向。比如，极坐标中的（3,60°）表示了一个距离极点3个单位长度、和极轴夹角为60°的点

3、。（−3,240°）和（3,60°）表示了同一点，因为该点的半径为在夹角射线反向延长线上距离极点3个单位长度的地方（240°−180°=60°）。极坐标系中一个重要的特性是，平面直角坐标中的任意一点，可以在极坐标系中有无限种表达形式。通常来说，点（r，θ）可以任意表示为（r，θ±2kπ）或（−r，θ±(2k+1)π），这里k是任意整数。[7]如果某一点的r坐标为0，那么无论θ取何值，该点的位置都落在了极点上。使用弧度单位极坐标系中的角度通常表示为角度或者弧度，使用公式2πrad=360°.具体使用哪一种方式，基本都是由使用场合而定。航海（en:Navigat

4、ion）方面经常使用角度来进行测量，而物理学的某些领域大量使用到了半径和圆周的比来作运算，所以物理方面更倾向使用弧度。两坐标系转换极坐标系中的两个坐标r和θ可以由下面的公式转换为直角坐标系下的坐标值x=rcos（θ），y=rsin（θ），由上述二公式，可得到从直角坐标系中x和y两坐标如何计算出极坐标下的坐标：r=（ײ+y²)½θ=arctan(y/x)在x=0的情况下：若y为正数θ=90°若y为负，则θ=270°极坐标方程用极坐标系描述的曲线方程称作极坐标方程，通常用来表示ρ为自变量θ的函数。极坐标方程经常会表现出不同的对称形式，如果ρ(−θ）=ρ（θ），

5、则曲线关于极点（0°/180°）对称，如果ρ（π-θ）=ρ（θ），则曲线关于极点（90°/270°）对称，如果ρ（θ−α）=ρ（θ），则曲线相当于从极点逆时针方向旋转α°。圆在极坐标系中，圆心在（r，φ）半径为r的圆的方程为方程为r（θ）=1的圆ρ=2rcos（θ-φ）另：圆心M(ρ',θ')半径r的圆的极坐标方程为:(ρ')2+ρ2-2ρρ'cos(θ-θ')=r2根据余弦定理可推得。直线经过极点的射线由如下方程表示θ=φ，其中φ为射线的倾斜角度，若m为直角坐标系的射线的斜率，则有φ=arctanm。任何不经过极点的直线都会与某条射线垂直。这些在点（r′，

6、φ）处的直线与射线θ=φ垂直，其方程为r′（θ）=r′sec（θ-φ）玫瑰线极坐标的玫瑰线（polarrose）是数学曲线中非常著名的曲线，看上去像花瓣，它只能用极坐标方程方程为r（θ）=2sin4θ的玫瑰线来描述，方程如下：r（θ）=acoskθ或r（θ）=asinkθ，如果k是整数，当k是奇数时那么曲线将会是k个花瓣，当k是偶数时曲线将是2k个花瓣。如果k为非整数，将产生圆盘（disc）状图形，且花瓣数也为非整数。注意：该方程不可能产生4的倍数加2（如2，6，10……）个花瓣。变量a代表玫瑰线花瓣的长度。阿基米德螺线右图为方程r（θ）=θfor0<θ<6

7、π的一条阿基米德螺线。阿基米德螺线在极坐标里使用以下方程表示：r（θ）=a+bθ，改变参数a将改变螺线形状，b控制螺线间距离，通常其为常量。阿基米德螺线有两条螺线，一条θ>0，另一条θ<0。两条螺线在极点处平滑地连接。把其中一条翻转90°/270°得到其镜像，就是另一条螺线。一条阿基米德螺线圆锥曲线圆锥曲线方程如下：其中l表示半径，e表示离心率。如果e<1，曲线为椭圆，如果e=1，曲线为抛物线，如果e>1，则表示双曲线。或者其中e表示离心率，p表示焦点到准线的距离。双绞线取AB为x轴，中点为原点，那么A,B坐标分别为(-a,0),(a,0)设M(x,y),则

8、根号[(x+a)^2+y^2]*根号[(x-a)^2