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1、《数学实验》综合实验报告实验名称 综合实验（Kalman滤波）2016年5月10一、【实验目的】明白滤波计算流程能够调用相关函数进行数据处理使用循环函数和二维曲线画图有效的构建仿真模型，产生模拟数据二、【实验原理分析】卡尔曼滤波器是一个“optimalrecursivedataprocessingalgorithm（最优化自回归数据处理算法）”。对于解决很大部分的问题，它是最优，效率最高甚至是最有用的。它的广泛应用已经超过30年，包括机器人导航，控制，传感器数据融合甚至在军事方面的雷达系统以及导弹追踪等等。近来更被应用于计算机图像
2、处理，例如头脸识别，图像分割，图像边缘检测等等。设系统可用一个线性随机微分方程来描述：X(k)=AX(k-1)+BU(k)+W(k)再加上系统的测量值：Z(k)=HX(k)+V(k)上两式子中，X(k)是k时刻的系统状态，U(k)是k时刻对系统的控制量。A和B是系统参数，对于多模型系统，他们为矩阵。Z(k)是k时刻的测量值，H是测量系统的参数，对于多测量系统，H为矩阵。W(k)和V(k)分别表示过程和测量的噪声。他们被假设成高斯白噪声，他们的协方差分别是Q，R（这里假设他们不随系统状态变化而变化）。对于满足上面的条件(线性随机微分
3、系统，过程和测量都是高斯白噪声)，卡尔曼滤波器是最优的信息处理器。首先要利用系统的过程模型，来预测下一状态的系统。假设现在的系统状态是k，根据系统的模型，可以基于系统的上一状态而预测出现在状态：X(k
4、k-1)=AX(k-1
5、k-1)+BU(k)………..(1)式(1)中，X(k
6、k-1)是利用上一状态预测的结果，X(k-1
7、k-1)是上一状态最优的结果，U(k)为现在状态的控制量，如果没有控制量，它可以为0。到现在为止，我们的系统结果已经更新了，可是，对应于X(k
8、k-1)的协方差还没更新。我们用P表示协方差：P(k
9、k-1)=
10、AP(k-1
11、k-1)A’+Q………(2)式(2)中，P(k
12、k-1)是X(k
13、k-1)对应的协方差，P(k-1
14、k-1)是X(k-1
15、k-1)对应的协方差，A’表示A的转置矩阵，Q是系统过程的协方差。式子1，2就是卡尔曼滤波器5个公式当中的前两个，也就是对系统的预测。10现在我们有了现在状态的预测结果，然后我们再收集现在状态的测量值。结合预测值和测量值，我们可以得到现在状态(k)的最优化估算值X(k
16、k)：X(k
17、k)=X(k
18、k-1)+Kg(k)(Z(k)-HX(k
19、k-1))………(3)其中Kg为卡尔曼增益(KalmanGa
20、in)：Kg(k)=P(k
21、k-1)H’/(HP(k
22、k-1)H’+R)………(4)到现在为止，我们已经得到了k状态下最优的估算值X(k
23、k)。但是为了要令卡尔曼滤波器不断的运行下去直到系统过程结束，我们还要更新k状态下X(k
24、k)的协方差：P(k
25、k)=（I-Kg(k)H）P(k
26、k-1)………(5)其中I为1的矩阵，对于单模型单测量，I=1。当系统进入k+1状态时，P(k
27、k)就是式子(2)的P(k-1
28、k-1)。这样，算法就可以自回归的运算下去。、MATLAB中已经给出了滤波函数，以下为直接调用方法:设线性系统为其调用格式为
29、[kest,L,P]=kalman(sys,Qn,Rn,Nn)[kest,L,P]=kalman(sys,Qn,Rn,Nn,sensors,known)[kest,L,P,M,Z]=kalman(sys,Qn,Rn,Nn)最后一种调用格式只限于离散系统。一、【实验内容及数据来源】已知离散系统第一式为系统方程，第二式为观测方程，表示状态量x的第二个分量。e与v是互不相关的高斯白噪声。假设的真值，由此系统方程构造出k=1,2,…30的数据,构造时加上系统噪声干扰，再由观测方程构造出观测数据并加观测噪声干扰，并以此作为仿真数据。用Kal
30、man滤波对仿真数据进行滤波处理，并与真实结果比较。10一、【实验程序】%%%%%%%系统描述%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%x[n+1]=Ax[n]+Bu[n]+Gw[n]%y[n]=Cx[n]+Du[n]+Hw[n]+v[n]%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%状态转移矩阵A=[0.490.2980.4120.401-0.3910.391-0.9920.4010.296];%B矩阵B=zeros(3,3);%G矩阵G=eye(3,3);%C矩阵
31、向量C=[010];D=[000];H=zeros(1,3);%状态向量初值（真值）x(:,1)=[10.98.481-4.3]';%状态向量初始估计值guji=[20.121.320.7]';%进入循环fori=2:30%c产生正态分布数据w=r
