高二数列和基本不等式常见题型

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1、一、最全的数列通项公式的求法数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。而作为给出数列的一种形式——通项公式，在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公式的常用方法。◆1、直接法又称观察法根据数列的特征，使用作差法等直接写出通项公式。例1.根据下列数列的前几项，说出数列的通项公式：………◆2、公式法①利用等差数列或等比数列的定义求通项②若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式求解.(注意：求完后一定要考虑合并通项)◆3、累加或累乘法对于形如型或形如型的数列，我们可以根据递推公式

2、，写出n取1到n时的所有的递推关系式，然后将它们分别相加（或相乘）即可得到通项公式。例4.若在数列中，，，求通项。解析：由得，所以，，…，，将以上各式相加得：，又所以=◆4、待定系数法：一般地，形如a=pa+q（p≠1，pq≠0）型的递推式均可通过待定系数法对常数a+k=p（a+k）二、一、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.1、等差数列求和公式：2、等比数列求和公式：例1、已知，求的前n项和.解：由由等比数列求和公式得（利用常用公式）＝＝＝1－练习：求的和。解：由等差数列的求和公式得

3、二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·　bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是等差数列和等比数列.例2求和：………………………①解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比数列{}的通项之积设……………………….②（设制错位）①－②得（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：∴练习：求数列前n项的和.解：由题可知，{}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{}的通项之积设…………………………………①………………………………②①－②得（错位相减

4、）∴三、倒序相加法求和这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（倒序），再把它与原数列相加，就可以得到n个.例3求的值解：设………….①将①式右边倒序得…………..②（倒序）又因为①+②得（倒序相加）＝89∴S＝44.5四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例4、求和:解:原式===练习：求数列的前n项和：，…解：设将其每一项拆开再重新组合得（分组）当a＝1时，＝（分组求和）当时，＝练习：求数

5、列的前n项和。解：五、裂项法求和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）例5求数列的前n项和.解：设（裂项）则（裂项求和）＝＝练习:解：在各项均为正数的等比数列中，若的值.解：设由等比数列的性质（找特殊性质项）和对数的运算性质得（合并求和）＝＝＝10六、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.例6、求5，55，55

6、5，…，的前n项和。解：∵an=59(10n-1)∴Sn=59(10-1)+59(102-1)+59(103-1)+…+59(10n-1)=59[（10+102+103+……+10n）-n]=（10n＋1-9n-10）练习：求数列：1，，，的前n项和。解：　==（1）（2）四、利用基本不等式求最值的技巧在运用基本不等式与或其变式解题时,要注意如下技巧◆1：配系数凑常数【例1】已知，求的最大值.答案时，.◆2:添加项凑常数【例2】已知，求的最小值.答案：当且仅当即.◆3:拆项配凑法【例3】已知，求的最小值.【解】由于,所以,当

7、且仅当即时，.◆4:常数代换法（如用”1”代换）◆5:由等式转化为不等式【例9】已知正数满足,求的取值范围.【分析】由于条件式含有,它们都在式中出现,故可直接运用基本不等式转化为待求式的关系式后再求.【解】利用基本不等式得,令,则得,所以,由于,所以即,故的取值范围是.