量子力学 波函数及其统计诠释不确定度关系

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1、量子力学武汉光电国家实验室刘劲松第二讲波函数及其统计诠释不确定度关系1平面波与傅里叶变换（一）一、一维情况下的平面波《大学物理》振动与波一维平面波ψ=Acos(xk-ωt)A－振幅，k－波矢，ω－频率平面波用指数形式表示ψ=Aexp[i(xk-ωt)]=Aexp(ixk)exp(-iωt)只考虑空间：ψ=Aexp(ixk)只考虑时间：ψ=Aexp(-iωt)2平面波与傅里叶变换（二）二、平面波的速度V平面波ψ=Acos(xk-ωt)，(xk-ωt)－相位平面波的速度V,指的是相速，即相位为常数时对应的速度(xk-ωt)=c,V

2、=dx/dt=ω/k因ω=2πν,k=2π/λ,所以，V=νλ对于平面波，频率ν和波长λ为常数结论：平面波的速度为常数3平面波与傅里叶变换（三）三、三维情况下的平面波一维情况下，平面波ψ=Acos(xk-ωt)三维情况下，x－rxexyeyzezk－kkxexkyeykzez平面波exp[i(rkt)]因k代表波传播的方向，故平面波的k必须为常量。反过来，速度v和波矢k为常量的波必为平面波4平面波与傅里叶变换（四）四、傅里叶变换exp(ixk)是周期函数，函数f(x)可表示为1

3、ikx（1）f(x)F(k)edk2其中，1ikxF(k)f(x)edx2F(k)称为f(x)的傅里叶变换。因为ψ=exp(ixk)代表平面波，故(1)式可看作将f(x)用平面波展开，F(k)为其展开系数5平面波与傅里叶变换（五）1¥1ikxikxfx()=òFkedk(),F(k)f(x)edx2p-?2221k例f(x)=sinax,则F(k)cos2a4a4特别地，若F(k)12，有11定义为ikxikxf(x)F(k)edkedk(x)2

4、2称δ(x)为δ函数。也可以理解为，傅里叶变换函数F(k)为常数的函数为δ函数。6第2讲目录一、量子力学讨论的对象：波函数二、自由粒子的波函数三、一般粒子的波函数及其物理意义四、波函数的统计诠释及其性质五、动量分布概率六、测不准关系（不确定度关系）7一、量子力学讨论的对象：波函数对于经典的粒子，其坐标r(t)满足22F(r,t)mdr(t)dt对于经典的电磁波，其复振幅E(r,t)满足222iE(r,t)tkE(r,t)0在量子力学中，引入一个物理量：波函数(r,t)，来描述粒子

5、所具有的波粒二象性。波函数满足薛定格波动方程22i(r,t)[V(r)](r,t)0t2m8二、自由粒子的波函数（1）自由粒子指的是不受外力作用，静止或匀速运动的质点。因此，其能量E和动量ppe都是常量。根据德布罗意波粒二象性的假设，自由粒子的频率和波长分别为υ=E/h，λ=h/p(1.1-1)又因为波矢为kke，其中k=2π/λ，因此，自由粒子的υ和k都为常量。由(1.1-1)得到h(1.1-2)Eh,pek2,h/29二、自由粒子的波函数（2）υ和k都为

6、常量的波应该是平面波，可用以下函数描述Acos(krt)或Aexp[i(krt)]将(1.1-2)代入，得到iAexp[(prEt)]k(1.1-3)这就是自由粒子的波函数，它将粒子的波动同其能量和动量联系了起来。它是时间和空间的函数，即(,,,)xyzt10三、一般粒子的波函数及其物理意义(1)当粒子受到外力的作用时，其能量和动量不再是常量，也就无法用iAexp[(prEt)]Aexp[i(krt)]k这样简单的函数来描述，但总可以用某个波函数

7、(,,,)xyzt来描述这个粒子的特性。问题是，该如何理解波函数所代表的物理意义呢？11三、一般粒子的波函数及其物理意义(2)历史上对粒子波动性的认识有两种误解：(1)波包说，认为粒子波就是粒子的某种实际结构，即将粒子看成是三维空间中连续分布的一种物质波包。波包的大小即粒子的大小，波包的速度即粒子的运动速度。粒子的干涉和衍射等波动性都源于这种波包结构。(2)群体说，认为体现粒子波动性的衍射行为是大量粒子相互作用或疏密分布而产生的结果。12三、一般粒子的波函数及其物理意义(3)1、波包（1）2

8、()

9、x一维情况下，不考虑时间

10、，x自由粒子的波函数为，i22xikx()xAeAe,kk1ikx对任意粒子，其波函数()x()kedk21ikx其中，()k()xedx2令x代表()x的宽度，则一般情况下，x(0,)13三、一般粒子的波函数及其