基于逆多项式轨迹成形法的小推力轨道设计

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1、2011年12月中国空间科学技术1篁!塑篁垒!里呈量塞量呈皇呈呈量呈!!呈竺竺皇里垒!呈呈垒呈呈!竺星兰基于逆多项式轨迹成形法的小推力轨道设计程兴史晓宁崔乃刚(哈尔滨工业大学，哈尔滨150001)摘要轨迹成形法是一种基于反向设计思想的轨道设计方法，它假设待研究的轨道呈现某一形状，利用数学曲线进行逼近从而得到设计结果。逆多项式轨迹成形法为小推力地球转移轨道设计和数值求解最优轨迹过程中初值的选取提供了新的研究思路。首先结合轨道动力学方程和逆多项式曲线模型给出了轨迹成形法的设计过程，并在考虑时间约束的情况下对小推力转移轨道进行设计

2、。仿真结果表明逆多项式轨迹成形法适宜于小推力转移轨道设计，并且其设计结果是一组近优解，可以作为求取精确最优轨迹的初值猜测。关键词逆多项式转移轨道最优轨迹轨道设计航天器DOI：10．3780／j．issn．1000一758X．2011．06．00l1引言航天器轨道设计一直是航天领域研究的重点和难点，目前的研究大多将其作为一个最优控制问题考虑并寻求数值解，设计前需要对控制过程或某些状态量初值进行估计。这通常是十分困难的，即使采用目前公认较好的优化设计软件也难于获得收敛解[1]。因此研究人员基于反向设计的思想，从飞行轨迹的基本形状

3、出发，提出了轨迹成形法。轨迹成形法的基本思路是假设待研究的轨道呈现某一形状，并试图寻求一条合适的数学曲线对其进行逼近，进而得到满足任务约束的设计结果。相对于传统的轨道设计方法，它设计前无需了解飞行过程的过多信息，避免了初始猜值带来的困难，较为适合用于空间任务初始设计阶段。轨迹成形法具有代表性的研究成果是发现指数正弦曲线族在逼近小推力轨道形状方面具有较好特性[2。4]。指数正弦模型的轨迹成形法虽然能够很好解决一类轨道设计问题，但是针对目标轨道为圆形的问题，其设计结果难以满足终端速度要求，需额外进行脉冲修正；此外随着时间约束或其

4、他约束的引入，求解形状参数收敛困难，并且其设计结果与最优解或次优解相去甚远[5]。因此本文选用逆多项式曲线模型【6。7]，对小推力地球转移轨道进行设计。本文主要研究具有时间约束下，逆多项式轨迹成形法在小推力地球转移轨道设计中的应用，以及其设计结果作为求取精确最优解初值猜测的可行性。最后针对不同初始轨道的轨道转移问题进行设计并给出数学仿真结果，通过对仿真结果进行分析，得到了具有实际参考价值的相关结论。2逆多项式轨迹成形法2．1逆多项式轨迹模型逆多项式曲线模型的表达式为‘61国家自然科学基金(61005060)I微小型航天器技术

5、国防重点学科实验室开放基金(HIT．Kl。OF．2009090)资助项目收稿日期：2011一05—23。收修改稿日期：2011一07—252±垦窒间型兰堇查!旦!!堡!!旦1，1、ri巧再i矿i万耳丽—了矿干万u’。口+6口+c口2+矗口3+P口4+厂口5+g口6⋯式中r为地心距；口为飞行总相角；口、6、c、d、P、，、g均为待求的轨迹形状参数。轨迹成形法的关键就是根据任务条件和相关约束确定上述轨迹形状参数。如图1所示，定义飞行航迹角y为航天器速度与当地水平面的夹角，将式(1)两侧对时间求导并整理可得飞行航迹角为tany=≯

6、／(r自)=一r(6+2c口+3d口2+4P口3+5，口4+69口5)(2)此外，式(1)所表示的逆多项式轨迹模型仍需满足极坐标系下轨道动力学方程。小推力作用下航天器飞行轨迹如图1所示，图中F为作用在航天器上的推力，'，为航天器速度，口为当前推力控制角，定义为推力方向与当前水平面的夹角。在极坐标系下轨道运动方程为≯一力2+等=F。siIlaIr孓(3)专叠(r2自)=Ec。s口Ird￡。式中且为地球引力常数；E为推力加速度大小。将式(1)两侧对时间求二阶导代入式(3)并整理可得相角变化率为≮，二，厂iX、．＼’^

7、’／，、．

8、．．．_．，，图1极坐标系下小推力轨迹Fig．1Trajectorywithlowthrus‘inpolarcoordinatesystem白z：!!!竺墼!璺里Z二!!!!堕±笆!!：。r+，(2f+6d口+12已口2+20，口3+309臼4)(4)2．2逆多项式轨迹成形法适用性分析式(1)的逆多项式模型具有7个待定的轨迹形状参数，因此可以解决具有7个约束条件的小推力轨道设计问题，正好满足本文所研究的情况(轨道转移初末地心距、速度，飞行总时间共7个约束)。对于其他情况可根据约束条件的个数调整多项式的阶数，例如若不考虑飞行时

9、间约束，可选用5阶多项式，其推导过程与前面类似。在目前对轨迹成形法的研究中，研究人员均基于“切向推力”假设进行，也即假设推力沿着飞行轨迹的切向方向，则口一y。这一假设也通常用于基于传统最优控制理论进行轨迹设计的初始猜值中。考虑本文所研究的地球小推力轨道转移问题，切向推力假设使得控制力以最快