谱方法及其应用_何松年

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2、微分方程已成为流体力学理论研究与流体工程设计的重要手段，这方面的研究具有很强的理论性与应用性。电子计算机和计算技术的发展正强有力地推动着这一学科以前所未有的速度蓬勃发展。有限差分方法、有限元方法和谱方法是研究非线性偏微分方程数值解的三大基本方法。最早的流体力学的数值计算都是用差分方法实现的。有限差分方法用差商代替微商，其思想方法简捷明了，格式构造方便灵活，易于模拟各种物理性质，因此，半个多世纪以来，差分方法在理论和实践上都取得了巨大的进展。目前(积累的有关差分方法的著作、文献数目众多，成果丰硕，例如

3、：)*+,-./04$54"5和12,*3(678/.9-0+和:*+.*;等人建立了线性差分格式的一般理论，对于非线性问题，4<5郭本瑜提出了广义稳定性概念，系统地建立了解决稳定性与收敛性的一般理论，对分析复杂的非线性问题的差分格式提供了有效的工具。差分方法的缺点在于其逼近精度受到格式本身的限制，且不便于处理复杂区域上的问题。有限元方法是偏微分方程数值解的另一种十分有效的方法。有限元方法最为突出的优点是能够容易地处理求解复杂区域上的问题，这也正是有限元方法在过去的几十年中，在弹性力学、流体力学以及

4、大量的工程问题的计算中获得极大成功的主要原因之一。另外，由于有限元理论形式单纯规范，因而，有限元方法还有易于编制大型通用计算软件的优点。它的数值分析理论已相当完善(众多的文4#54@5献资料报告了有限元的研究成果。例如：=72+>0.总结了椭圆型问题的有限元解法，?/*900总结了抛4C5(=/B;D4E5(?092;4&5物线问题的有限元解法，而A7+2B>.等则阐述了流体动力学中的有限元方法。与有限差分方法相类似，有限元方法的逼近精度同样受到格式本身的限制。近"F年来，谱方法飞速发展起来，已成为

5、数值求解偏微分方程的又一强有力的工具。谱方法源于经典的67.GHA2>0+I7;方法，以整体无限光滑的函数系（例如：三角多项式，=/0J-,/0K多项式，L28*J7多项式和>0D0;M+0多项式等，它们都是N.B+9HO7*BK7>>0问题的谱函数）作为基底的A2>0+I7;方法和配置法，分别称为谱方法和拟谱方法，统称为谱方法。事实上，谱方法的基本思想是十分古老的，现代电子计算机的迅猛发展和快速)*B+70+变换的出现，大大减少了谱方法的计算量，才使其有了实用价值(从而使谱方法重新引起人们的广泛注

6、意，并得以在短时间内迅速发展起来。谱方法最受人青睐的优越性在于它具有“无穷阶”的收敛速度，其确切含义为，若原微分方程的解无限可微，则由适当的谱方法收稿日期："FFFH$FHF&作者简介：何松年（$PC

7、研究与数值模拟，以及孤立子的计算和研究等等。谱方法的数值理论也在,-.,!2.341/5’*5&0),!!.不断发展和完善。%&’’()*+等着重总结了线性问题谱方法的数值分析理论。%/01’&等研究了几种常用的谱方法（如6&15)*5378*+9:8*;3<*=*0>5*方法）中所采用的直交多项式系在?&+&(*;空间中的逼近性质，这些结果对谱方法的误差估计所起的作用是奠基性的。近年来，非线性问题谱方法,!AB!C.的研究获得了长足的进展。对于稳态问题，@/>/9研究了D15=*5:方程的<*=*

8、0>5*和78*+9:8*;谱及拟谱逼近，E/;)*5$?’&F*:方程的6&15)*5谱3拟谱逼近和78*+9:8*;拟谱逼近。这些工作树立了稳态,!GBA".非线性问题谱方法理论分析的典范。郭本瑜等利用离散能量方法系统地研究了非线性发展型方程的全离散谱方法。他们分别对HIJ$D15=*5:方程、二维和三维涡度方程、K