第八章 磁能

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1、第八章磁能§8.1戴流线圈系统的磁能§8.2戴流线圈在外磁场中的磁能§8.3磁场的能量和磁能密度*§8.4非线性介质及磁滯损耗*§858.5利用磁能求磁力1本章阐述的方式与第三章几乎相同，读者可以通过对比去学习和掌握本章的内容。2§818.1戴流线圈系统的磁能一、一个载流线圈的磁能在第七章7.4节中，研究RL了如右图所示的电路。当接通开关后，自感为L的线圈中的电流从零开始，增大到I，而达到稳定。这是一个暂态过程，描述它的方程为：dILIR,或＋IRidt是线圈L的感应电动势。于是立即可得：32EIdtLIdI

2、IRdt(811)(8.1.1)或IdtIdtIRdt2(8.1.2)i■式（8.1.1）说明，电源在时间dt内作功并消耗能2量EIdt，其中除一部分转变为电阻R的焦耳热IRdt之外，另一部分用来反抗线圈的感应电动势作功，其值为LIdI或Idt。i■我们知道，在开关接通以前线圈中的电流为零，其磁场为零，作为零能态；开关接通后，电流逐渐增大，线圈内磁场逐渐增强，这正是电源消耗一部分能量反抗线圈的感应电动势作功的结果，该能量转变为线圈的磁能（即磁场能）W：4mI12WLIdILI,(813)(8.1.3)m02可写成

3、：1WmIm(8.1.4)2式中mLI为穿过线圈的全磁通，式（8.1.3）或式（8.1.4）为线圈的自感磁能表达式。二、N个载流线圈系统的磁能为了简化讨论，我们假定所给的线圈的电阻很小可以忽略，即焦耳热损耗的能量可以忽略。各线圈电流由零逐渐增加到给定值I，将i各线圈I0取为零能态。5i■在某一瞬间，在第i个线圈中，感应电动势i由下式确定：NdIdIik(815)(8.1.5)LMiikidtdtk1kiLi是第i个线圈的自感，M是第k个线圈和第iki个线圈之间的互感。■因此，在第i个线圈中，电源反抗感应电动

4、势在dt时间内所作的功是：NdAiiIidtLiIidIiMkiIidIk(8.1.6)k1ki6■在N个线圈中，总的电源作功是：NNNdAdAiLiIidIiMkiIidIk(8.1.7)i1i11i,kki■由MkiMik以及上式右边第二项互换求和指标i和k结果不变，得：NNNN11MkiIidIkMkiIidIkMikIkdIiMikd(IiIk)22i,k1i,k1i,k1i,k1kikiikik于是，可将式（8178.1.7）

5、写成：NN1dAMikd(IiIk)LiIidIi2i,k1i17ik■将上式自始态（全部Ii0）至末态积分便得：NN112AMikIiIkLiIi22i,k1i1ik■该功转换为系统的磁能W:mNN112WmAMikIiIkLiIi(8.1.8)22i,k1i1ik于是，方程右边的第一项表示N个线圈系统的互感磁能，第二项表示自感磁能。8ML■如果记iii，则式（8.1.8）可表为：N1WmMikIiIk(8.1.9)2i,k1■设MIMI，它表示第k个线圈的电流ki

6、kikikk的磁场通过第i个线圈的磁通，且令：NNikiMikIk(8.1.10)k1k1于是式（8198.1.9）又可写成：N1WI(8.1.11)mii2i1式（8198.1.9）与式（81118.1.11）只不过是式（8.1.8）的另一种表述方式，便于记忆。9§8.2戴流线圈在外磁场中的磁能对两个载流线圈的系统，我们应用式（8.1.9）求得磁能的表达式如下：1122WLILIMII.(821)(8.2.1)m1122121222上式右边第一、第二项分别是两个载流线圈的自感磁能，第三项是两个载流线

7、圈的互感磁能。■当我们只对两个载流线圈的相互作用感兴趣时，同样地只研究它们的互感磁能，也就是互能，把它记为W12，其表达式为：WMIII,(8.2.2)10121212122式（8.2.2）可进一步写成：WIBr(),dS(8.2.3)12212S2我们可将该系统的互能看成为载流线圈2在外磁场B1中所具有的磁能。■对均匀外磁场中的载流线圈或非均匀外磁场中的小载流线圈，式（8.2.3）右边的Br12()可从积分号中提出，简记为B，以至：WIBSm()B.(8.2.4)122这是磁矩m在外磁场B中的磁能表达式（

8、8.2.4），与第三章3.3节例3.4中对应的电偶极子p在外电场中的能量表达式WpE相比差一负号,在§8.5中解释。11e■如果有一外场B(r)，N个载流线圈处于该场中，这系统在外场中的磁能容易求得，只需推广式（8238.2.3