第七章 线性二次型最优控制

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1、IntroductiontoModerncontroltheoriesandmethods现代控制理论与方法概论第七章线性二次型最优控制1引言最优控制的目标是使系统在一段时间上所需性能和系统实际性能间的差异为最小，即寻找使性能指标最小的时间函数的控制。这里是寻求动态最优。最优控制的综合包含性能指标的选择及在物理条件限制下的系统设计两方面。最优控制即从容许控制集U中，寻求控制矢量u(t)，使受控系统在时间域[t0,tf]内从初态到终态时性能指标J取极小（大）值。满足上述条件的控制作用称为最优控制u*(t)，在控制作用下状态方程的解称为最优轨线x*(t)，沿最优轨线使

2、性能指标达到的最优值称为最优指标J*。2引言如果系统是线性的，性能指标泛函是状态变量和（或）控制变量的二次型函数的积分，则这样的最优控制成为线性二次型最优控制问题，即使得J为最小。二次型性能指标（泛函）的一般形式11tfTTTJtFxxxttQtxffuuttRtt0ttd22线性二次型最优控制问题的求解简单，易得到解析形式表示的线性状态反馈规律，通过状态反馈可实现闭环最优控制，是应用最广泛的一类最优控制方法，具有重要的工程价值。3本章内容第七章线性二次型最优控制7.1线性二次型问题7.2状态调节器7.3输出调节器7

3、.4跟踪系统47线性二次型最优控制7.1线性二次型问题线性时变系统xxtuAttBtyxtCtt希望控制系统的输出尽量接近输入设期望输出为yr(t),定义误差向量e(t)=yr(t)−y(t)要求确定最优控制u*(t),使二次型性能指标极小:11tfTTTJetffFtet0etQtetutRtutdt2257.1线性二次型问题11tfTTTJetffFtet0etQtetutRtutdt22其中：F--半正定对称常数矩阵Q(t)--半

4、正定对称时变矩阵一般取对角阵R(t)--正定对称时变矩阵t0,tf--固定值性能指标的物理意义1T准确性指标(1)末值误差eeettfffFt2l12若取F=diag{f1,f2,...,fl}≥0,etffetiif2i1末值误差分量的加权平方和，反映系统的准确性67.1线性二次型问题tftf1T(2)动态跟踪误差LdtetQttteedtt002若取Q(t)=diag{q1(t),q1(t),...,ql(t)}≥0,l11T2LetQtiieetqtet022i

5、1ltf1tf2Ldteqtettiidtt002快速性指标i1动态跟踪误差分量的加权平方和，对时间积分tftf1T(3)控制能量消耗LdttRtttuudutt002若取R(t)=diag{r1(t),r1(t),...,rm(t)}>0,mtf1tf2Ldturtuttiid控制代价7tt002i17.1线性二次型问题二次型性能指标的说明：（1）物理意义：使系统控制过程中的动态误差与能量消耗，以及控制结束时的稳态误差综合最优（最小）。（2）二次型性能指标是一种综合型性能指标，它可以兼顾终端状态的准确性、系统

6、响应的快速性、系统运行的安全性及节能性各方面因素。（3）控制时间的起点t0及终点tf，可能是由实际问题决定的客观参数，也可能是由设计者决定的主观参数——设计者必须把希望达到的指标和t0、tf的选择结合起来。87.1线性二次型问题二次型性能指标的说明：（4）不同目标之间，往往存在着一定矛盾。为能尽快消除误差并提高终端准确性，就需较强的控制作用及较大的能量消耗；而抑制控制作用的幅值和降低能耗，必然会影响系统的快速性和终端准确性——合理折衷。（5）无论容许控制如何选择，性能指标中各项的数值始终具有相同的符号。以极小值作为最优标准，结合问题的物理性质，各项符号均取正值。9

7、7.1线性二次型问题二次型性能指标中加权矩阵F，Q(t)和R(t)的选取（1）加权矩阵中各个元素之间的数值比例关系，将直接影响系统的工作品质。提高F阵中某一元素的比重，说明更加重视与该元素对应的状态分量的终端准确性；提高Q(t)阵中某一元素的比重，说明希望与之对应的状态分量具有较好的快速响应特性（较小的暂态误差）；提高R(t)阵中某一元素的比重，意味着需要更有效地抑制与之相应的控制分量的幅值及由它引起的能量消耗。确定各加权阵的各个元素间的关系，十分重要且十分困难！107.1线性二次型问题二次型性能指标中加权矩阵F，Q(t)和R(t)的选取（2）F取半正定，Q

8、(t)取半