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1、万方数据第27卷第4期2009年10月沈阳师范大学学报(自然科学版)Journa/ofShenyangNormalUniversity(NaturalScience)VoI.27.No.4Oct.2009文章编号:1673—5862(2009)04—0396—05应用线性矩阵不等式解决控制问题郑长波1,高杰2(1.大连水产学院职业技术学院,辽宁大连116300;2.沈阳师范大学数学与系统科学学院,辽宁沈阳110034)摘要:介绍了有关控制系统线性矩阵不等式(LMI)的一些基本概念。介绍了用于求解线
2、性矩阵不等式的3个常用求解器,通过实例给出了如何运用MATLAB线性矩阵不等式(LMI)求解器求解锥补线性化问题,并给出了锥补线性化问题的算法和求解程序。关键词:线性矩阵不等式(LMI);控制系统;LMI控制工具箱;决策向量中图分类号:TP293文献标识码:A0引言近十多年来,线性矩阵不等式广泛用于解决控制系统中的问题,随着线性矩阵不等式的内点法的提出、MATLAB软件中LMI工具箱的推出,线性矩阵不等式(LMI)越来越受到人们的重视,已成为系统与控制领域研究中的一大热点问题[1-8]。本文介绍了
3、有关线性矩阵不等式(LMI)的基本概念和求饵线性矩阵不等式的3个常用求解器,通过实例给出了如何运用MATLAB线性矩阵不等式(LMI)求解器求解锥补线性化问题,并给出了锥补线性化问题的算法。1线性矩阵不等式的概念一个线性矩阵不等式(LMI)可以表示成如下的一般形式:L(X)=L0+xlLi+⋯+xNLN<0其中,Lo,L1,.一,LⅣ是给定的对称矩阵,zl,⋯,XN称为线性矩阵不等式的决策变量,z=[zl,⋯,zN]T∈RN是由决策变量构成的向量,简称决策向量。L(x)<0表示L(z)是负定的,即
4、对所有非零的向量可∈RN,vrL(z)u<0,或者L(z)的特征值均小于零。若下式成立L(z)=Lo+z1Ll+⋯+xNLN≤0则相应的矩阵不等式称为非严格的线性矩阵不等式。多个LMI可以用一个LMI来表示,即L1(X)<0,L2(x)<0,⋯,LN(z)<0等价于Ll(z)L2(z)LN(z)<0线性矩阵不等式L(X)<0这个约束条件定义了自变量空间中的一个凸集,即{z:L(z)<0},因此是自变量的一个凸约束。正是线性矩阵不等式的这一性质使得可以应用解决凸优化问题的有效方法来收稿日期:2008
5、—10—20基金项目:国家自然科学基金资助项目(10471096)。作者简介:郑长波(1954一)。男,辽宁大连人,大连水产学院教授。万方数据第4期郑长波等:应用线性矩阵不等式解决控制问题求解相关的线性矩阵不等式问题[9]9。2线性矩阵不等式常用的求解器LMI工具箱提供了求解以下3个问题的线性矩阵不等式求解器[10]。1)可行性问题寻找一个z∈R‘N,使得满足线性矩阵不等式系统A(z)
6、,使得满足上式的A最小化,显然最终如果Amm<0,则对应的z即为一组可行解。2)具有线性矩阵不等式约束的一个线性目标函数的最小化问题mincrzA(,27)
7、化方法求解即在满足Atz⋯Al(。一1)A1。A22⋯A2(n—1)A2n*一MA(n—1)n*一N(PM,,I。,(Q二净。<0(1)(2)(3)的条件下使trace(PM+QN)取得最小值锥补线性化的LMI算法为1)首先找到满足(2)和(3)中3个矩阵不等式的所有未知矩阵变量的一个可行解(Po,Qo,Mo,No),令迭代次数k=0。2)对于矩阵变量(P,Q,M,N),求解如下最小化问题:Minimize[trace(P∞玎+瑚+Q∥+NkQ)]Subjectto2),3)令求出的最优解为:(v
8、k+1,q+l,慨+l,M+1)万方数据398沈阳师范大学学报(自然科学版)第27卷3)验证所求出的最优解是否满足1),若满足,则得解。若果不满足,检查忌是否达到规定的迭代次数,如果达到,则系统无解;否则,令k=k+1,转到步骤2继续执行程序。以下对一具体问题所做的仿真,所需要描述的LMI为:S—P0A+BK—F℃*一S0O0FC*R—Q0一BKFC—A*一R0**P一10*Q一1<0P>0,Q>0,R>0,S>0,M>O,N>O,F,K是适维矩阵按照上面的锥补线性化方法算法,所描
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