数学：探究在细节中萌生

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1、场北京英才苑鬥站YCY创新试题探究：在细节中萌生在数学教学中，应当加强学生学习兴趣的培养，这种培养是一个比较漫长的、渐进的过程，通过教师对数学史料的介绍，对数学问题情景的设计，在引领学牛分析问题、解答问题和捉出新的问题的过程里，使学牛不断地体验数学是有趣和有用的，也许能将学习的兴趣转化为不断学习的动机，就是要让学生在对于数学感兴趣的同时，体验到自己冇能力学好数学,在这样的环境屮学习，理应是件很快乐•的事.笔者在阅读文［1］时，看到第205页上有如下问题:问题：如果3个实数满足(*)土+—+土1+xy1+yz+zx那么，三数兀』,Z之间会有什么关系？试证明你的结论.探究1:在原书

2、里，其解答是利用构造函数的办法，属于高中的知识,似乎难以想到的.从问题的表面看，条件式(次)的外形对称、和谐，给人以数学美的享受.事实上，要探究三数之间存在的关系，必然要遵循“要化简，不要化繁”的原则,想办法去化简条件等式(*),看看能得到什么结论？解题是需要不断的实丿施化简，诸如：化复杂为简单、化陌生为熟悉、化多为少、化分式为整式等等.解法1:采用分式转化为整式，由等式(*)便得(x-y)(l+yz)(l+zx)+(y-z)(l+zx)(l+xy)+(Z7)(l+Q)(l+yz)=0,①将这个等式的左边展开，化简，得x2y+yL+z2x-xy2-yz2-zx2=0,②对等式②分

3、解因式，得(兀-刃(y-z)(z7)=o.③从而知道屮至少有一个为寥,也就是说，三数x,y,z中至少有两个相等.评说：该解答定比较本质的、简捷的、易想到的.从条件等式(*)去分母，得出①是简单的，：而对①式的左端展开，就有24项，这在运算时，需要特别有耐心，需要仔细、认真和准确无谋.从等式②到等式③的转化是比较难想到的，这里的分解因式的动机是什么？为什么耍分解？怎么分解？似乎难于想明白.如果对③的左边展开(这显然是容易的！)，就自然得出了等式②.而且，发现对②的左边补上一个代数式兀-兀yz，这样左边就有8项了，也就能够实就分组因式分解技术了.谙aaacaa0=xy+y^z^zx-

4、xy^-yz-zx222222=xyz+zx-xy-yz-zx+炉一粧=(x2y-xy2)-(a^z-)'z)-(zx2-xyz^+(z2x-yz2)二小(乳_刃_%(兀_>')_旷(兀_〉')+才(兀_歹)=(x-y)(xy-yz-zx+z2)=_(x_y)()'_z)(z_x)・事实上，笔者最初的做法是，由(*)看出，或者说猜得x可能与)，相等，于是，筹式②的左边多项式里，可能有因子(x-y),再考虑对称性，就可能有因子(兀一y)(y—z)(z—x)・接下来’由③和②的"对接”，问题就解决了！当然，这里的因式分解，不实施补项，也是可以实现的，请看：222222C+yz+zx—

5、小-yz-zx=(x2y-xy2)+(y2z-zx2)+(z2x-yz2)=xy(x-y)-z(x2-y2)+z2(x-y)=(x_y)［兀y-z(x+y)+z*=(兀一y)［兀(y_z)_z(y_z)］=_(兀_y)()r)(x_z)・探究2：如杲把幵z看做常数，兀看做变化的最儿那么等式(*)的左端就是一个分式函数解法2：设于(。=匚匸+4_+二，于是条件等式就是l+ty1+yz1+z/心亠+丄二+二=0,l^xy1+yz1+zx显然，可以看出/(刃=丄二丄+丄二匚+上二上=0,l+y1+yz1+zyl+zyl+)z1+才=0.这说明什么呢？说明了关于t方程/a)=上丄+丄二三

6、+口=o有三个实数根兀,”z.1+莎1+yz1+zt再来看看，分式方程□)=泾+&+二=0,通过咖"，可以转化为整式方程.当中，最高次『的系数是(y-z)yz+(z-y)(l+yz)二z-y・当z-yH0时，转化后的整式方程是关于/的一元二次方程，而一元二次方程至多有二个实数根，因此一定有x=y或者兀=z・综合以上，可知：三数中至少有两个相等.评说：函数思想与方程观点在中学数学里的应用极其广泛，木解法就是一个很好的例证.相比之下，该解答的运算量要小的多，但思维的层次要高的多.在构造函数的过程里，把一个字付看作变量(也可称为”主元“),其余的字母看作常数，这种”主元”思想，在数学解

7、题变形里，有时是很有用的，请看：分解因式：x2y+y2z+z2x-xy2-yz2-zx2.事实上，把兀看作“主元”，将已知的多项式变形为关于x的标准的一元二次三项式a?+bx+csl接下來，问题就容易做答了.?2222。对)'+『z^-z^x-xy-yz-7X•=()'_沪一(于_”)兀+(此_丼2)=(y_z)〒_().，_z)(y+z)兀+(y_z)yz=(y_z)[F_b+z)x+w]=(y-z)(x-y)(jt-z)=_(x_y)b_z)(z_x).探究3：通过对探究1的