数学逻辑学论文

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1、反证法的逻辑相关知识与应用程达平摘要：反证法是一种间接证明问题的方法。本文简要的叙述了反证法的定义，归纳了用反证法证明数学问题的一般步骤。从命题的结论涉及到“无限”、“至少”或“至多”、“唯一”、“否定”四个方面出发，通过例题，简要说明了运用反证法证题的方法和技巧。关键词：反证法应用1•问题的提出在数学解题中经常使用反证法，牛顿曾经说过：“反证法是数学家最粹当的武器之一”。一般来讲，反证法常用来证明的题型有：命题的结论以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“无限”形式出现的命题；或者否定结论更明显。具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反血思考，

2、问题可能解决得十分T•脆。2.反证法在数学中的应用2.1反证法的相关知识2.1.1反证法的定义：为了证明某个结论，从命题结论的反血出发，通过一系列正确的推理，引出与原命题、定理、公理等已知内容相矛盾，从阳得出假设不成立，原命题得到证明，这种方法叫做反证法。具体来说，由否定结论的正确性出发，根据假设、定义、公理或定理，进行一系列正确的推理，最后得出一个矛盾的结果。这就表明结论的反面不能成立,从而肯定这个结论成立。这种驳倒反面的证法统称为反证法。1命题：对某件事情的判断称为命题•命题有真有假，当对某一件事情的判断正确吋称为真命题，否则称为假命题•比如“如果A,则B”就是一个命题，这命题由两部分组

3、成，称A为条件，B为结论,实际上A和B本身也是一个命题.我们把命题“如果A,则为真的情形，理解为"IIIA之成立（真）可以堆出B之成立（真）”，也可视为A到B的推推过程.2反证法的含义：如果把否定的原结论（即歹）纳入到原条件（即A）中，使二者共同作为新条件，由此经正确推理得新结论.新的条件与新的结论构成的新命题为假命题吋，在原条件为真的情形下，乂原命题必为真命题，故原结论得证.凡用这种方法进行论证，我们称之为反证法.注意：（1）反证法的本质就是“由证明原命题的否命题不成立来确定原命题正确的证明方法（2）只有原命题的条件为真时，才能用反证法.例：如果-1<-3,那么（）<一1证明：此题若形式主

4、义地使用反证法，假设（）〉-1,因为1v2,所以-1+1v-3+2即（）V-1.这与反证法0〉-1矛盾.故命题成立.事实上0<-1是不成立，容易看出原因在于题设-1<-3是假的.3反证法的理论依据（i）反证法依据的是逻辑学中的两个基木规律：排中律和矛盾律•任何一个判断或真或假,二者必居其一，R只居其一，不可能有第三种情况，这就是排中律•对于一个命题“若A,则〃”，根据排中律，“3真不真”（即歹真）Z中必有一个是对的，否定了其中一个,就肯定了另一个.那么如何知道“结论的反面不真”呢？这是由“在同一论证过程中，两个互相反对或互相否定的论断，至少必冇一假”，这就是矛盾律•当假定结论〃不成立，这就会

5、导致与已知的真命题（如公理、定理、定义、题设等）矛盾时，根据矛盾律，在数学的理论体系中不口J能冇矛盾结果，而各步的推理又止确，则假设结论〃不成立时错误的，即“歹假”被证明了.（ii）逻辑分析：设原命题pTq,反证法可表示为（1）这里F表示一个恒假命题（或相对p^q假），也就是，（1）式是一永真式，这里戸可以是某公理或某定理；述可以是相对于p^q假，即还口J以是”或g,或p^q注：值得说明的是，论述英实质时冇些把它等同于原命题逆否命题的应用，这便大大的缩小了这一证法的外延，因而可能造成使用反证法时的局限，即反证法的实质不是“证原命题的逆否命题成立”・设方程x=psinx+a冇实根（0

6、a是实数），则实根唯一?证明：假设方程有两个实根：X.X2且XIHX2,则由题意可得X］二psinXi+a,x2=psinax2+a两式相减得到：sinx.-x,=p(sinX1-sinax2)=2pcos^22故X]-x2

7、Wp

8、xi-x2

9、而XiHX2；2即pMl,这与已知的0

10、员

11、B的公共部分，设

12、员

13、A与圆B的公共弦为PQ,以=^PQ为半径，以ABA/PQ

14、的交点C为圆心作圆，如图。(1)设AB与圆A交于M,则斤=r2—AC2