函数最值求法及运用

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1、函数最值求法及运用一•经验系统梳理：1).问题思考的角度：1.几何角度；2.代数角度2).问题解决的优化策略：I、优化策略代数角度：1.消元2.换元3.代换4.放缩①经验放缩，②公式放缩.③条件放缩.(显在条件、隐含条件)]II、几何角度：经验特征策略分析问题的几何背景•线性规划、斜率、距离等3)・核心思想方法：划归转化思想;等价转化思想.若,贝(Ja>A———>y[ab>1t>b>0V21+1ab二、体验训练：1.线性规划问题2已知双曲线方程为求卜I-卜

2、的最小值2.斜率问题已知函数/(兀)的定义域为[―2,乜)，且/(-2)=1,/(0)

3、=-1,/(4)=1,/'(X),为/(X)的导函数，函数y=八兀)的图像如图所示.若两止数兀y满足/(2x+j)<1,则凹的収值x+3(37)范围是.(53；3.距离问题3、由直线y=x+±的一点向圆(x-3)2+/=1引切线，则切线长的最小值为."练习1・已知点P(x,y)是直线也+丁+3=0伙>0)上动点，PA.PB是圆C:x2+y2-4y+3=0的两条切线，A、B是切点,若四边形P4CB的最小面积是2,则£=•2x>0练习2.己知实数x,y满足不等式组<^>0，则%2+)，-2x-2y的最小值为x+y<14.消元法已知函数f(x)=

4、4-x2-4,若0v加且f(m)=于⑺),则肿的取值范围为(0,4)练习：设函数/(x)=x2+2x-l,若d

5、令J-2x=t(Z>0,x<—),则兀=，/.y=1=—(Z+1)2+1,2222当20,即x=-时取等号，.••函数取最大值丄，无最小值.222.已知OA=OB=1f且夹角为120°如图点C在以0为圆心的圆弧上动•若OC=xOA+yOB^c.ywR则求x+y的最大值.6.代换法设兀,为正实数，满足兀-2y+3z=0,则丄的最小值是3【解析】木小题考查二元基本不等式的运用•x+3zH+9Z+6必、竺込=3,当且仅当“昭时取—，.4xz4xz设正实数%»>',z满足(x+y).(x+z)=2则xyz(x+y+z)的最大值为▲17.公式放缩法

6、函数=sin2%+—,xg(0,7t)的最小值为：5sin"x错解：Vxg(0,tt)sinxg(0,1,sin2xe(0,1］又sin2x•=4为定值故利用基本不等式得y>2^4=4sin"x即y的最小值为4点评：利用基本不等式必须满足三个条件：即"一正、二定、三等”，而本题只满足前两个条件，不满足第三个条件，即sin2x=^^不成立。sirrx2怖设兀"为实数，若4x2+y2+xy=l,则力+y的最人值是。58.放缩法、换元法已知二次函数f(x)=ax2+2x+c的值域是［0,+a)).那么+的最小值是・9.综合探讨：满足条件AB=2,A

7、C=42BC的三角形ABC的面积的最大值【解析】本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想.设BC=x,则AC=V2x根据而积公式得=-ABxBCsinB=xV1-cos2B,根据余弦定理得4^代入上式得门AB2+BC2-AC24+x2-2x24-x2cosB===2ABxBC4x4x山三角形三边关系有［低+解得272-2a/2x故当兀=2^2时取得Swc最人值2^2解析2：若AB=2,AC=4iBC,则的最大值。【解析】本小题考杏三角形面积公式及函数思想。因为AB二2(定长)，可以以AB所在的直线为X轴，其中垂

8、线为y轴建立直角坐标系，则A(-1,O),B(1,O),设C(x,y),山AC=^2BCnJ得丁(兀+1)2+)，二冋匕—心于,化简得(x-3)2+y2=8,即C花以(3,0)为圜心，2迈为半径的圆上运动。乂Smbc=^-AB-

9、yc

10、=

11、yJ<2>/2。答案2血7、设xg(0,-),贝U函数(sin2x+—^)(cos2x+—)的最小值是—2sirrxcosx417.如图：某污水处理厂要在一个矩形污水处理池(ABCD)的池底水平铺设污水净化管道(RbFHE,H是直角顶点)来处理污水，管道越长，污水净化效果越好•设计要求管道的接口H是A3的中

12、点，£,F分别落在线段BC,AD上已知AB=20米，人£>=10巧米,记ZBHE=0.(1)试将污水净化管道的长度厶表示为口的函数，并写出定义域;(2)若sin&+