高中数学解题中克服定势思维的策略

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1、高中数学解题中克服定势思维的策略（甘肃省永昌县笫四中学姚文彦73720013689453723）摘要：在解决某些数学问题的过程中，需要克服定势思维.本文重点针对克服定势思维的几种常见策略就典型例题做了详细剖析，并及时总结方法.简单探讨了如何在平时的教学中培养学生的发散思维，以期能让学生在解题过程中善于打破常规，另辟蹊径，提高答题的速度和准确率.关键词：克服定势思维发散思维人们一般习惯于正向思维，容易形成思维定势，因此在解决某些问题吋会处于“山重水复疑无路”的困境.在这种情况下，就需要我们及时转变思维方

2、向，另辟蹊径，从而使问题得以解决.在解题过程中克服定势思维常见的策略有止难则反、执果索因、以退为进、转化化归、变换视角等•下而就这些策略分别举例说明.1、正难则反我们拿到一道题目，总是习惯从正面入手，但冇些数学问题如果从正面入手难度较大或者求解繁琐，这时不妨打破思维常规，转化为考虑问题的相反方面，实行“正难则反”策略，往往能开拓解题思路、简化运算过程.例1:已知集合A=^xx2一2（加一3）x+3加一5=0},3={兀卜>0},若ADB工0,求实数加的取值范围.分析：4・〃工0,说明集合A是以方程/_

3、2（加-3）x+3加-5=0（*）至少冇一个实根是大于0为元素组成的非空集合，方程（*）的实根分三种情况：①两正;②一正根一零根；③一正根一负根，分别求解十分麻烦.这时采取“正难则反”的解题策略，即在zxno为全集的情况下，求出方程①两根均为非正时加的取值范围，最后利用“补集”思想求解.解析：设全集J7=丸△=［-2（m-3）］2-4（3m-5）>0=（mm<2或加>7）,若方程兀$-2（加一3）兀+3加一5=0的两根均为非止，即%,<0,x2<0,且meU解得丄5加S33由韦达定理可得严勺=如-3）

4、“X］兀2=3/77-5>0•/meU—

5、题无法进行下去.在这种情况下，我们不妨利用“分析法”证明不等式的思想，即执果索因，从结论逆行考虑问题，去寻觅结论成立的一些条件，由欲知确定需知，求需知利用已知，往往会收到较好的效果.例2：设Q、0、7是锐角，且COS2(7+COS2P+COS2/+2COS(7COS^COS/=1,求证：a+0+丫=兀.分析：要证&+0+了=龙，只须证COSQ=-COS(0+y)即可.由此，可把已知条件看成以COSG为变量的一元二次方程.解析：把条件改写为cos?a+2(cos/3cos/)cosa+(cos20+co

6、s2/-l)=0,解上述方程可得cosa=-cos(0±/).由于COSQ>0,-cos(/?-/)<0,故COSQ=-cos(0-厂)应舍去.所以COSQ=-cos(0+/),当注意到a、0、7都是锐角时，口J得a+0+7=龙.【点评】从求证结论结合已知条件挖掘出cosa是一元二次方程的根，这为探明解题思路指出了方向.3、以退为进在探索解题途径吋，直接解决问题复杂时不妨尝试一下间接解决.对于某些问题，可以退到构成这一整体内容的部分上，用带有整体特征的部分來处理问题，解题思路便会豁然开册.例3:求si

7、n220°+cos280°+V3sin20°cos80°的值.分析：正面化简运算较困难，若仔细观察会发现其结构特点接近于余弦定理的形式，故口J构造三角形，利用正、余弦定理解决.解析：原式二sin$20°+sin210°-2sin20°sin10°cos150°由于10。+20。+150。=180。则假设有一个三角形，其三个内角分别为10°,20°,150°,这三个内角所对的边依次是a,b,c,由余弦定理得：6/2+//-2^cos150°=c2,再由正弦定理得sin210°+sin220°-2sinl

8、0°sin20°cos150°=sin2150°=-,4即原式二上・4【点评】在该题的解决过程中，巧用了正、余弦定理，避免了许多烦杂的运算，从而使问题较轻松获得解决.当然，这种思想方法对同学们的思维要求较高,不易发现.这就要求我们在遇到题目时，不要拘泥于题目的表象，充分发挥发散思维，统筹考虑整个题目，才能不拘一格地发现巧妙的解法.4、转化化归另有一些题目，可通过观察、分析、类比、联想等思维过程，运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题（相对来