2、s=£/[x,〉'(训1+
3、/(兀)认。(3)若曲线厶的极坐标方程为p=p{Oa<00../=!义是变务F=p(x,y)r+e(x
4、,y)j沿有向弧段L所作的功，即W=［Fds=P(x,y)dx+Q(x,y)dy2.性质：除了与弧氏的曲线积分相同的性质外，应注意方向性(P(x,y)clx+g(x,y)dy=-y)dx+Q(x,y)dy2.计算：⑴若曲线厶的参数方程为兀=曲)，y=y(/),且曲线厶的起点和终点所对应的/的值为o和0,又x⑺，y(/)在［o,0］或［0,o］上连续，P(兀,y),0(兀,y)在乙上连续，则［p(x，)M+Q(x，y}dy={pM)‘)©)］“")+oM)，y(”］yK)}刃(2)若曲线厶的直角坐标方程为y=y(兀)，11曲线厶的起点和终点所对
5、应的兀的值为a和b,又y'(x)在［a,b］或［b,a］上连续，贝I」+0（x，y）dy=£{p[x,）心）]+Q[x,y（x）bO}dx(3)若空间曲线厶的参数方程为x=x(t)9y=y(r),z=z(r),且曲线厶的起点和终点所对应的f的值为Q和0,又W),yt),z")在k，0］或［0,a］上连续,则［P(x,y}dx+g(x,y)dy+Rdz=了{円血),)(x),z(f)+氐“),y(f),z(f)］y")+QM),y(f),z(f)］zQ)}df(%1)格林公式，曲线积分与路径无关的条件1.格林公式设P(x,y)和g(x,y)及
6、一阶导数在闭区域D上连续，则有£戶(兀，y)dx+Q(x,y)dy=dxdyDLdxO'_其屮分段光滑曲线厶是区域D的正向边界。2.四个等价命题若戶(兀,)，)，2(x,y)在单连通区域D内有一阶连续偏导数，则在D内下列四个命题相互等价:(1)曲线积分£P(x,y)dx+Q(x,y)dy与路径无关，其屮厶是D屮分段光滑曲线；(2)沿D屮任一分段光滑闭曲线厶有力P(x,y)dx+g(x,y)dy=0。(1)对£>内的任一点(x,y)有孚=巴。dxdy(2)在£>内存在一函数使d(7=P(x,y)dx+Q(x,y)dy，则有U(x,y)=]：：)
7、P(x,y)dx+Q(x,y)dy1.两种曲线积分么间的关系£P(x,y)dx+Q^xyy)dy=j(Pcosa+Qcos00$其屮COSQ,COS0是厶上任一点厶方向上的切向量的方向余弦。(%1)对面积的曲面积分1.定义：,y,z)dx=lim,rji)A^.,其中込•(j=1,2,・・・丿)是曲面块I°/=!I上的第/•个块的面积2=max{A$・}。8、$=y,z(x,.训1+疋+若曲面工的方程为单值函数x=x(y,z)若y=)(x,z)，设D；和Dx:为工在yoz平面和兀血平面上的投影，则曲面积分可类似地化成重积分：J“(S，z)ds=JJ/［心z),”训+H心山或W(x,y,Z)ds=JJ7[x,)心,z),4/l+疋+y；dxdz(%1)对坐标的曲面积分1・定义：y,z）dydz+Q（x,y,z）dxdz+R（x,y,z.）dxdyz=Hm£Pg,a,GXxh+Q忆4，GXuh+Rg，力GX山入"1=1-其屮(△$)).表示工的第j子块込•在xoy平面上的投影，(△_•)),z,含
9、义类似A=max1SQ{△©的直径}。物理意义：设流体密度为1,流速为v(x,y,z)=p(x,y,z)i+2(x,y,z)j+/?(x,y,z)k，则单位时间内流
