《论文_74孤立奇点类型探析-常凯(定稿)》

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1、孤立奇点类型探析指导教师：麻桂英常凯(包头师范学院数学科学学院)【内容摘要】：孤立奇点分为有限和无穷两大类。孤立奇点分为可去奇点、极点和本性奇点，它们有各口的性质。【关键词】：奇点孤立奇点可去奇点极点本性奇点一、引言奇点：若函数/(Z)在点Z0不解析，但在勿的任一领域内总有/(Z)的解析点，则称Z0为函数/⑵的奇点。孤立奇点：如果函数/⑵在点a的某一去心领域K-{a}:O<

2、z-tz

3、

4、奇点。孤立奇点分有限孤立奇点和无穷孤立奇点。二、有限孤立奇点孤立奇点是解析函数的奇点屮最简单、最重要的一种类型。以解析函数的洛朗展式为工具，我们能够在孤立奇点的去心领域内充分研究一个解析函数的性质。如a为函数/(z)的孤立奇点，则门z)在a点的某去心领域K-{a}内可以展成洛朗级数：00f(z).工C”(z-Q)"H=—008我们称非负琴部分£c”(z-d)"为/(z)在点a的正则部分，而称负幕部分//=0为.f(z)在点a的主要部分。这是因为实际上非负鬲部分表示在点a的领域W=Jk：

5、析函数，故函数/(z)在点a的奇异性质完全体现在洛朗级数的负幕部分上。如果f(z)在点a的主要部分为零，则称a为/(Z)的可去奇点。如果于(z)在点a的主要部分为有限多项，设为c川+

6、+…+上丄⑺，”工0)(zW(Z-旷Z-0"则称a为/(z)的m阶极点。一阶极点也称为单极点。如果/(z)在点a的主要部分为无限多项，则称a为/(z)的木质奇点(下面内容只列出定理和例子，证明可见书)。以下我们分别讨论三类孤立奇点的特征。1可去奇点，如果a为函数/(z)可去奇点，则有：/(z)=c0+C[(z-a)

7、+c2(z—a)2+•••(()<#—询v/?)上式等号右边表圆K:z-a

8、(3)于(?)在点a的某去心领域内有界。2极点定理：如果函数/⑵以a为孤立奇点，则下列三条是等价的。因此，它们中的任何一条都是m阶极点的特征。(1)在点a的主要部分为(1)在点a的某一去心领域内能表成/⑵二其中兄⑵在点a领域内解析，且2⑷工0；(2)g(z)=—'—以点a为m阶零点(可去奇点要当作解析点看，只要令g(t/)=0)注：第三条表明：/(Z)以点a为m阶极点例：函数f⑵二一空一以z=l为一阶极点，z=-l/2为二阶极点。(Z-1)(2"1)2O—-—以点a为m阶零点。/⑵下述定理也能说

9、明极点的特征，其缺点是不能指明极点的阶。定理：函数/(z)的孤立奇点a为极点的充要条件是lim/^)=0°z->a3本质奇点定理：函数/(z)的孤立奇点a为本质奇点的充要条件是lim/⑵Hb(有限数)且lim/⑵工4即lim/⑵不存在。Z->aZT"WT"定理：若z=a为函数/(z)之一本质奇点且在点a的充分小去心领域内不为零，则z=a亦I1必为的本质奇点。例：z=0为冇的本质奇点，因为g1.111ZA、ez=1+—++•••++・・・(0vz<+oo)z2!?川Z"三、无穷远孤立奇点定义：设函

10、数.f（z）在无穷远点（去心）领域N-{00}:+oo〉匕>r>0内解析，则称点8为/⑵的一个孤立奇点。设点8为©⑵/⑵的一个孤立奇点，利用变换f=丄，于是）=/（厶）=仏）ZZ在去心领域K-{0}:00从

11、这里，我们很自然地根据0（£）在原点的状态来规定函数/（z）在无穷远点的状态，即有：定义：若?=0为0匕）的可去奇点（解析点），H1阶极点或本质极点，贝IJ我们相应的称Z=oo为/（z）的可去奇点（解析点），m阶极点或本质极点。定理：函数/（z）的孤立奇点z=00为可去奇点的充要条件是下列三条中的任何一条成立：（1）/（z）在z=00的主要部分为零⑵lim，⑵="hoo）；（3）/⑵在z=00的某去心领域N・{oo}内有界。定理：函数/（z）的孤立奇点z=oo为m阶极点的充要条件是下列三条中的任