第三讲_温度场的有限元分析

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1、回顾第二讲什么是插值函数、形函数？什么是应变矩阵、应力矩阵？什么是单元刚度矩阵？什么是整体刚度矩阵？有限元基本步骤？插值函数（或位移函数）•用以表示单元内物理量变化（如位移或位移场）的近似函数。由于该近似函数常由单元节点物理量值插值构成，故称为插值函数，如单元内物理量为位移，则该函数称为位移函数。•选择位移函数的一般原则：1）位移函数在单元节点的值应等于节点位移（即单元内部是连续的）；2）所选位移函数必须保证有限元的解收敛于真实解。注：为了便于微积分运算，位移函数一般采用多项式形式，在单元内选取适当阶次的多项式可得到与真实解接近的近似解位移函数的构造方

2、法•广义坐标法2nux()xx...x一维单元位移函数：011n简记为()uxi为待定系数，也称为广义2n坐标{1xx...x}T{...}012n位移函数的构造方法•插值函数法即将位移函数表示为各个节点位移与已知插值基函数积的和。如一维单元uxNxuNxu()()()...1122nNxuii()二维单元1nux(,)yNuii注：Ni可为Lagrange、1Hamiton多项式或形函n数，在+1~-1间变化vx(,)yNvii1第三讲温度场的有限元分析参考：《有限单元法在传热学中的应用》，孔

3、祥谦编著，北京：科学出版社，第三版，1998.9（TK124/7）•传热基本原理•温度场基本方程推导•平面稳态温度场的有限元法－－基于变分原理（1）泛函与变分（2）平面稳态温度场的泛函（3）单元温度场分析（4）整体温度场方程传热基本原理•温度场方程传热基本原理•不稳定温度场：温度场不仅在空间上变化，并且也随时间变化的温度场：Tfx,y,z,t•稳定温度场：不随时间而变的温度场（即温度只是坐标的函数）：Tfx,y,z传热基本原理•等温面：空间具有相同温度点的组合面。•等温线：某个特殊平面与等温面相截的交线。•温度梯度：对于一定温度场，沿等温面

4、或等温线某法线方向的温度变化率。温度梯度越大，图形上反映为等温面（或等温线）越密集。传热基本原理•上述偏微分方程式是传热学理论中的最基本公式，适合于包括铸造、焊接、热处理过程在内的所有热传导问题的数学描述，但在对具体热场进行求解时，除了上述偏微分方程外，还要根据具体问题给出导热体的初始条件与边界条件。传热基本原理对具体热场用上述微分方程进行求解时，需要根据具体问题给出导热体的初始条件与边界条件。•初始条件：初始条件是指物体开始导热时（即t=0时）的瞬时温度分布。•边界条件：边界条件是指导热体表面与周围介质间的热交换情况。传热基本原理•常见的边界条件有以

5、下三类：第一类边界条件：给定物体表面温度随时间的变化关系Tf(t)w第二类边界条件：给出通过物体表面的比热流随时间的变化关系Tqx,y,z,tn第三类边界条件：给出物体周围介质温度以及物体表面与周围介质的换热系数T＝TTnwf•上述三类边界条件中，以第三类边界条件最为常见。传热基本原理h,h温度场基本方程推导•一般三维问题，物体各点q的温度是坐标和时间变化qyqdzzqdyzy的，即zyTTx(,,,)yztqqdxxx•热平衡原理：任一dt时间q•Qxx内，物体内任一微元体所dzq积蓄的热量（即温度升高

6、zydyy所需的热量）等于传入该yxdxq微元体的热量与微元体内z热源所产生的热量之和。即•微元温度传入微元微元内•升高=的+产生•所需热量净热量的热量温度场基本方程推导T•设微元在dt内，温度升高为：TTdtt•相应所积蓄的热量为：Tcdxdydzdt•同一时间内，微元体沿x方向传入t和传出的热量之差，即净热量为：qqxxqdydzdt()qdxdydzdtdxdydzdtxxxxqq•类似，y，z方向的净热量：yzdxdydzdt,dxdydzdtyzqqq•即传入微元体的净热量为：()xyzd

7、xdydzdtxyz•由热传导定律：热流密度与温度梯度成正比，而方向相反，即：TTTqkqkqk,,xxyyzzxyz•代入上式得传入微元体净热量为：TTT[()()()kkk]dxdydzdtxyzxxyyzz温度场基本方程推导•设微元体内有热源，其热源密度为Q(x,y,z,t)，则该热源在dt内所共给的热量为：Qdxdydzdt•据热平衡得一般热传导微分方程：TTTTcdxdydzdt[(k)(k)(k)]dxdydzdtQdxdydzdtxyzt

8、xxyyzz微元体温度升三个方向传入微微元体内热源高所需的热量元体的净热量产生的热量——物体