【】圆锥曲线弦线问题的破解策略

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1、锥曲线弦线问题的破解策略圆锥曲线“弦线”问题及破解策略河北省承德市承德实验中学康义武邮编067011圆锥曲线屮的“弦线”问题既很普遍乂很复杂，说普遍是因其很常见，说复杂是因其运算较大较烦.因此在复习这部分内容时，不仅要巩I古I知识深化方法，而11更重要的是一定要熟悉几种“弦线”问题的类型及破解策略.1.定长弦——主用弦长公式例1（06安徽理）如图，F为双曲线C：x2y21a0,b0的右焦点.P为双曲线C右a2b2支上一点，月.位于x轴上方，M为左准线上一点，0为坐标原点.已知四边形0FPM为平行四边形，PF0F.

2、（1）写出双曲线C的离心率e与的关系式；（2）当1时，经过焦点F且平行于0P的直线交双曲线于A、B点，若AB12,求此时的双曲线方程.解析：此题第二问是典型的“定长弦”问题，可借助弦长公式，先导相关的一•元二次方程，利用韦达定理即可得出所求.（1）・・・四边形OFPM是平行四边形，・・・

3、0F

4、

5、PM

6、c,作双曲线的右准线交PM

7、PF

8、

9、0F

10、cc2e2a222于H,贝lj

11、PM

12、

13、PH

14、2,又e,222aa

15、PH

16、c2ae2cc2c2cce20.y23aax2e2,c2a,),b3a,(2)当1时，双曲线为22

17、1,此时P(,22a3a(x2a),代入到双曲线方程得：所以直线OP的斜率为，则直线AB的方程为y334x220ax29a20.29a2设A(xl,yl),B(x2,y2),则xlx25a,xlx2・422又AB12,则由弦长公式AB得：529a221225a412a,解得a1,Ab23.34y221.则所求方程为x31.定点弦——主用定比分点公式x2y21有相同的焦点，直线y二x为C的一例2(06山东理)双曲线C与椭圆84(1)求双曲线c的方程；(2)过点P(0,4)的直线1,交双曲线C于A,B两点，交x轴于Q

18、点(Q点与C的顶点8不重合).当PQ1QA2QB,月.12时，求Q点的坐标.3解析：此题第二问是过定点的弦线问题，一•般來讲，过定点的弦线问题人都可用定比分点公式加以解决.x2y2(1)设双曲线方程为221.abx2y21求得两焦点为(2,,,由椭圆0)(20).84对于双曲线C：c2.又y为双曲线C的一条渐近线，bv2222a11.,b3,双曲线C的方程为：xa3(2)由题意知直线1的斜率k存在且不等于零，所以设1的方程：ykx4,A(l,xl,)y则yQ,2x2k4PA,的比为1.0,PQ1QA,Q分(B,)

19、44lxl,X(11),kllk11由左比分点坐标公式得：■04lyl•y4.11111611161o,A(xl,yl)在双曲线C±,2k1312162k0.316222k0.同理有：(16k)2322163整理得(16k)132116222若16k0,则肓线1过顶点，不合题意，16k0.221,2是二次方程(16k2)x232x1612162k0的两根，33282,k4,此时0,k2.2k1630).所求Q的坐标为(2,1.焦点弦——主用圆锥曲线统一定义x2y21,抛物线C2：例3(06湖南文)已知椭圆Cl(y

20、m)22px(p0),且43Cl,C2的公共弦AB过椭圆Cl的右焦点.(1)当ABx轴时，求ni,p的值，并判断抛物线C2的焦点是否在玄线AB±；(2)是否存在ni,p的值，使抛物线C2的焦点恰在直线AB±?若存在，求出符合条件的m，P的值,若不存在，请说明理由.解析：此题题设条件给出焦点弦，为简化运算，焦点弦问题最好用圆锥曲线的统一定义，这比直接利用眩长公式省事.(1)当ABx轴时，点A,B关于x轴对称，所以m0,直线AB的方程为x1,从而点A的坐标为1或1,323・2992p,即p.48x因为点A在抛物线上，

21、所以此时C2的焦点坐标为上.9,0,该焦点不在直线AB16(2)假设存在m,p的值使C2的焦点恰在直线AB±,由(I)知直线AB的斜率存在,故可设直线AB的方程为yk(x1).yk(x1)2222曲x2y2消去y得(34k)x8kx4k120.”,，①143设A,B的坐标分别为(xl,yl),(x2,y2),则xl,x2是方程①的两根,8k2xlx2.234k(ym)22px2±

22、消去y得(kxkm)2px.””②yk(x1)因为C2的焦点Fp,m在yk(x1)上,2kpkpp所以mk1,即mk・代入②有kx2p

23、x.222k2p20.，”,③即kxp(k2)x4222P(k22)由Txl,x2也是方程③的两根，所以xlx2.2k8k2p(k22)8k4从而.”,，④,p34k2k2(4k23)(k22)又AB过Cl,C2的焦点,所以AB(xlppll)(x2)xlx2p(2xl)(2x2),2222312k24k212则P4(xlx2)42.,,,,⑤24k34k238k44k2