直角三角形性质和判定-勾股定理

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1、直角三角形本章内容第1章直角三角形的性质和判定（Ⅱ）本课内容本节内容1.2复习回顾：直角三角形两直角边a，b的平方和，等于斜边c的平方.a2+b2=c2勾股定理的内容是什么？勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系.在直角三角形中，若已知直角三角形任意两条边长，我们可以根据勾股定理求出第三边的长.在Rt△ABC中，∠C=90°.（1）已知a=6，b=8，则c=____抢答（2）已知a=5，c=13，则b=____（3）已知b=5，c=15，则a____如图1-16，电工师傅把4m长的梯子AC靠在墙上，使梯脚C离墙脚B的距离为1.5m，准备在墙上安装电灯.当他爬上梯子后，

2、发现高度不够，于是将梯脚往墙脚移近0.5m，即移动到C′处.那么，梯子顶端是否往上移动0.5m呢？动脑筋图1-16由图1-16抽象出示意图1-17.在Rt△ABC中，计算出AB；再在Rt△A’BC’中，计算出A’B，则可得出梯子往上移动的距离为（A’B-AB）m.图1-17A’BCC’梯子墙面地面分析A在Rt△ABC中，AC=4m，BC=1.5m，由勾股定理得，在Rt△A’BC’中，A’C’=4m，BC’=1m，故因此A’A=3.87-3.71=0.16（m）.即梯子顶端A点大约向上移动了0.16m，而不是向上移动0.5m.图1-17A’BCC’梯子墙面地面A例1（“引

3、葭赴岸”问题）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深，葭长各几何？”意思是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在池的中央，其出水部分为1尺.如果将芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面.问水深与芦苇长为多少？举例分析根据题意，先画出水池截面示意图，如图1-18.设AB为芦苇，BC为芦苇出水部分，即1尺，将芦苇拉向岸边，其顶部B点恰好碰到岸边B′.宋刻《九章算术》书影ABB’15C图1-18ABB’15C图1-18解：在如图1-18，设水池深为x尺，则AC=x尺，AB=AB’=(x+1)尺.因为正方形池塘边长为10

4、尺，所以B’C=5尺.在Rt△ACB’中，由勾股定理，得x2+52=(x+1)2解得x=12则芦苇长为13尺.答：水池的深度为12尺，芦苇长13尺.练习1.如图，一艘渔船以30海里/h的速度由西向东追赶鱼群.在A处测得小岛C在船的北偏东60°方向；40min后，渔船行至B处，此时测得小岛C在船的北偏东30°方向.已知以小岛C为中心，周围10海里以内有暗礁，问这艘渔船继续向东追赶鱼群是否有触礁的危险？北东CAB60°30°北东CAB60°30°分析取轮船航向所在的直线为AB.过点C作CD⊥AB，垂足为D.CD长为C岛到轮船航道的最短距离，若CD大于10海里，则轮船由西向东

5、航行就不会有触礁的危险.北东CAB60°30°D解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，依题意，∠CBD=60°，∠CAD=30°，由于CD长大于10海里，所以轮船由西向东航行没有触礁危险.北东CAB60°30°D∠CAD=∠ACB=30°，∴AB=BC=（海里），在Rt△CBD中，∠BCD=30°，2.如图，AE是位于公路边的电线杆，高为12m，为了使电线CDE不影响汽车的正常行驶，电力部门在公路的另一边竖立了一根高为6m的水泥撑杆BD，用于撑起电线.已知两根杆子之间的距离为8m，电线CD与水平线AC的夹角为60°.求电线CDE的总长L（A，B，C三点在同一直线上，电线杆、

6、水泥杆的粗细忽略不计）.分析要求电线CDE的总长L，即要求CD+DE的长度，需分别把CD和DE放在直角三角形中，于是过点D作DF⊥AE，垂足为F.EABCDFEABCDF解：过点D作DF⊥AE，垂足为F，依题意∠BCD=60°,AB=DF=8m,AF=BD=6m,FE=6m.在Rt△DEF中，由勾股定理,得在Rt△DBC中,∠CDB=30°,设BC=x,DC=2x，由勾股定理得,x2+62=(2x)2解得x=据《周髀算经》记载，西周开国时期（约公元前1000多年）有个叫商高的人对周公说，把一根直尺折成直角，两端连接得一直角三角形。如果勾是3，股是4，那么弦是5，这就是商

7、高发现的“勾股定理”.因此在中国，勾股定理又被称作“商高定理”，在西方国家，勾股定理又“Pythagoras(毕达哥拉斯)定理”.但毕达哥拉斯发现这一定理的时间要比商高迟得多，可见我国古代人民对人类杰出的贡献.小知识1955年的希腊邮票“赵爽弦图”为2002年在北京召开的国际数学家大会的会标.西班牙教材中的勾股定理，他们称之为“毕达哥拉斯定理”.香港教材中的勾股定理仍然沿用着西方的名称——毕氏定理.分析要求AD的长，要把AD放在直角三角形中，通过勾股定理计算出.如图，等腰△ABC中,AB=AC,AD是底边上的高，若AB=5cm,BC=6c