整式的乘法与因式分解压轴题解析

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1、整式的乘法与因式分解【知识脉络】【基础知识】1．单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．3a2b2×2abc=（3×2）×（a2b2×abc）=6a3b3c2．单项式与多项式的乘法法则：a(b+c+d)=ab+ac+ad单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．3．多项式与多项式的乘法法则：(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再

2、把所得的积相加．4．乘法公式：①完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2（a－b）2＝a2－2ab＋b2语言叙述：两个数的和（或差）的平方等于这两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍．②平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2语言叙述：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差．5．因式分解（难点）因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．一、掌握因式分解的定义应注意以下几点：（1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素

3、缺一不可；（2）因式分解必须是恒等变形；（3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．二、熟练掌握因式分解的常用方法．1、提公因式法（1）提公因式法的关键是找出公因式，公因式的构成一般情况下有三部分：①系数一各项系数的最大公约数；②字母——各项含有的相同字母；③指数——相同字母的最低次数；（2）提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式．需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一

4、点可用来检验是否漏项．（3）注意点：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的．2、公式法运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用；①平方差公式：a2－b2＝（a＋b）（a－b）②完全平方公式：a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2a2－2ab＋b2＝（a－b）2【典例解析】例题1：数学家发明了一个魔术盒，当任意数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的数：（a﹣1）（b﹣2）．现将数对（m，1）放入其中，得到数n，再将数对（n，

5、m）放入其中后，最后得到的数是　﹣m2+2m　．（结果要化简）【考点】整式的混合运算．【分析】根据题意的新定义列出关系式，计算即可得到结果．【解答】解：根据题意得：（m﹣1）（1﹣2）=n，即n=1﹣m，则将数对（n，m）代入得：（n﹣1）（m﹣2）=（1﹣m﹣1）（m﹣2）=﹣m2+2m．故答案为：﹣m2+2m【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．例题2：乘法公式的探究与应用：（1）如图甲，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，请你写出阴影部分面积是　a2﹣b2　（写成两数平方差的形式）（

6、2）小颖将阴影部分裁下来，重新拼成一个长方形，如图乙，则长方形的长是　a+b　，宽是　a﹣b　，面积是　（a+b）（a﹣b）　（写成多项式乘法的形式）．（3）比较甲乙两图阴影部分的面积，可以得到公式（两个）公式1：　（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2　公式2：　a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）　（4）运用你所得到的公式计算：10.3×9.7．【考点】平方差公式的几何背景．【分析】（1）中的面积=大正方形的面积﹣小正方形的面积=a2﹣b2；（2）中的长方形，宽为a﹣b，长为a+b，面积=长×宽=（a+b）（a﹣b）；（3）中的答案

7、可以由（1）、（2）得到（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2；反过来也成立；（4）把10.3×9.7写成（10+0.3）（10﹣0.3），利用公式求解即可．【解答】解：（1）阴影部分的面积=大正方形的面积﹣小正方形的面积=a2﹣b2；（2）长方形的宽为a﹣b，长为a+b，面积=长×宽=（a+b）（a﹣b）；故答案为：a+b，a﹣b，（a+b）（a﹣b）；（3）由（1）、（2）得到，公式1：（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2；公式2：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）故答案为：（a+b）（a﹣b），a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）；（4

8、）10.3×9.7=（10+0.3）（10﹣0.3）=102﹣0.32=100﹣0.09=99.91．例题3：如图，将一边长为a的正方形（最中间的小正方形）与四块边长为b的正方形（其中b＞a）拼接在一起，则四边形ABCD的面积为（　　）A．b2+（b﹣a）2B．b2+a2C．