第五章+曲线曲面全

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1、第六章曲线与曲面曲线曲面的表示是计算机图形学的重要研究内容之一。现代产品设计中，对于诸如飞机、汽车、船舶等具有复杂曲面外形的产品，需要使用数学工具来描述其几何形状，以满足产品在流体动力性能和造型方面的要求，这促进了曲线与曲面的研究。曲线和曲面功能是目前大多数商用CAD系统（尤其是中、高端系统）的重要组成部分，是应用CAD技术进行产品造型设计的重要手段之一。对工程技术人员来说，了解和掌握有关曲线与曲面的基本知识，是熟练运用相关工具的基础和前提。自由曲线曲面的发展过程目标：美观，且物理性能最佳1963

2、年，美国波音飞机公司，Ferguson双三次曲面片1964~1967年，美国MIT，Coons双三次曲面片1971年，法国雷诺汽车公司，Bezier曲线曲面1974年，美国通用汽车公司，Cordon和Riesenfeld,Forrest,B样条曲线曲面1975年，美国Syracuse大学，Versprille有理B样条80年代，Piegl和Tiller,NURBS方法6.1曲线和曲面基础在我们遇到的各种各样的曲线大概不外乎两类：一类是我们已经比较熟悉的，如圆、椭圆、双曲线、正弦余弦、概率分布、摆线

3、螺线等等。这类曲线均可以用一个曲线方程式来表示，称此类曲线为规则曲线。比如圆的方程可以写成x2＋y2=R2等另有一类曲线，我们尚不能确切给出描述整个曲线的方程，它们往往是由一些从实际中测量得到的一系列离散数据点用曲线拟合方法来逼近的，称为不规则曲线。这些曲线一般采用分段的多项式参数方程来表示，由此形成一条光滑连续的曲线称为样条曲线或简称样条。1.非参数表示显式表示对于一条曲线，如果一个坐标变量能够显式地表示为另一个变量的函数，就得到了该曲线的显式表示。平面曲线显式表示的一般形式是一条直线方程在显式

4、表示中，每一个x值只对应一个y值，所以用显式方程不能表示封闭或多值曲线，例如不能用显式方程表示一个圆。6.1.1曲线的表示隐式表示平面曲线隐式表示的—般形式为：例如，二次隐式方程的—般形式可写成（9.1）该隐式方程可以表示抛物线、双曲线和椭圆等。三维空间曲线的隐式表示式为交面式:曲线的非参数表示存在的问题是：①与坐标系相关；②会出现斜率为无穷大的情况(如垂线)；③非平面曲线难用常系数的非参数化函数表示，例如式（9.2）；（9.2）2．参数表示曲线的参数表示是指将曲线上各点的坐标变量显式地表示成参数

5、的函数形式。若取参数为，则曲线的参数表示为(9.3)其中，和分别是的显式函数通常将参数区间规范化为[0,1]。参数方程中的参数可以代表任何量，如时间、角度等。最简单的参数曲线是直线。连接和两点的直线段的参数方程可写为取角度θ为参数时，x和y的关系如图9.1(a)所示；取t为参数时，x和y的关系如图9.1(b)所示，其中θ和t为等距取值。第一象限内单位圆弧的表示形式y(a)1.0x0y(b)1.0x0一条参数曲线的表示形式并不是惟一的，例如在第一象限内的单位圆弧可表示成其中0≤t≤1对曲线曲面，参数

6、表示比非参数表示更优越：①参数方程的形式不依赖于坐标系的选取，具有形状不变性；②在参数表示中，变化率以切矢量表示，不会出现无穷大的情况；③对参数表示的曲线、曲面进行平移、比例、旋转等几何变换比较容易；④用参数表示的曲线曲面的交互能力强，参数的系数几何意义明确，并提高了自由度，便于控制形状。1参数曲线的切线、法线和曲率当曲线上的点Q趋于M时，割线的极限位置称为曲线在点M处的切线。若参数曲线上任一点的坐标为p(t)=[x(t)，y(t)，z(t)]，则该点的切线方程即为参数曲线在该点处的一阶导函数，即

7、p'(t)=[x'(t)，y'(t)，z'(t)]。法线就是垂直切线方向且通过该点的直线。6.1.2参数曲线和曲面的基本概念曲线上两点M和Q的切线的夹角δ与弧长MQ之比，当Q趋于M时的极限，即称为曲线在M点的曲率,如图6.1所示。曲率也是切线的方向角对于弧长的转动率,其值为yxQMαdαα+dαds图6.1曲线的曲率2插值、逼近和拟合给定空间一组有序的控制点（controlpoint），得到一条光滑的分段参数多项式曲线的方法。1这条曲线顺序经过所有的控制点，则称为对这些控制点进行插值，得到的曲线称

8、为插值曲线2构造一条在某种意义下最靠近控制点的曲线，这称为对这些控制点进行逼近，得到的曲线称为逼近曲线(a)5个控制点的插值曲线(b)5个控制点的逼近曲线而曲线的拟合则是这两种设计方法的统称，是指在曲线的设计过程中，用插值或逼近方法使生成的曲线达到某些设计要求，如在允许的范围内贴近原始的型值点或控制点序列，或曲线看上去很光滑等。3．参数连续性和几何连续性参数连续性C0连续：简单地将曲线连接起来C1连续：1曲线连接2两个曲线段在连接处的一阶导数相等C2连续：1将曲线连接起来2保证两个