[精品]解排列组合问题的十五种常用策略与方法

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1、解排列组合问题的十五种常用策略与方法解排列组合问题的十五种常用策略与方法排列，组合是高中数学中的一个难点，学生一般都感到这部分内容独特，思维抽象，题型繁多，并且容易产生由于思维不周而引起的重复或遗漏错误，而这种错误往往又难以检验。因此，解题时必须认真审题，明确问题是排列问题还是组合问题，其次要抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公式进行分析解答，同时还要注意讲究一些基本策略和方法技巧，使一些看似复朵的问题迎刃而解。下面，是本人执教以来的归纳心得，仅供大家参考。一、特殊元素“优先考虑法”对于含有特殊元素的排列组合问

2、题，一般应先考虑特殊元素，再考虑其它元素。［例1］用0、1、2、3、4这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有个。（）A.24B.30C.40D.60分析：市于该三位数都是偶数，故末尾数字必须是偶数，又因为0不能排首位，故0就是其中的“特殊”元素，应优先安排，按0排在末尾和0不排在末尾分为两类：①0排在末尾时，有A42个；②0不排在末尾时，有A21A31A31个，由分类加法计数原理，共有偶数30个。答案：B二、特位位置“优先安排法［例2］6名同学站成一排，其中甲、乙两人既不站排头，也不站排尾有多少种不同的

3、排法？分析：排头和排尾是两个特殊位置，甲、乙两人不能站，那么只能由其余4人中选2人去站，有A42种方法，其它4个位置由余下的4人去站，有A42种方法，因此共有方法N二A42A44二288（种）答案：288（种）。三、合理分类，严防重复法［例3］写有0、2、4、6、8的5张卡片，如果允许6作9使用，那么从中抽取3张可组成多少个不同的三位数?分析：符合条件中的取法可分为四类：（1）选0不选6,由于0不能排首位，则应排在后两位之一，故可组成三位数A21A32=12（个）。（2）选0且选6,则应再选一张卡片，又市于0不能排

4、在首位，且6可作9使用，故叮组成三位数2C31A21A22=24（个）。（3）不选0选6,由于6可作9使用，可组成三位数2C32A33=36（个）。（4）0、6都不选，可组成三位数A33二6（个）。因此，符合条件的三位数共有N二A21A32+2C31A21A22+2C32A33+A33=78（个）四、恰当分步，谨防遗漏法例4从6双不同的手套中任取4只，其中恰有2只配成一双的取法有多少种？分析：事件可分四步完成（1）从6双中取一双，有C61种方法。（2）从余下的5双中取两双，有C52种方法。（3）从取出的两双中的一双

5、中取一只有C21种方法。（4）从取出的两双中的另一双中取一只有C21种方法。因此共有方法N二C61C52C21C21二240（种）。五、相邻问题：捆绑法对于某儿个元素要求相邻的排列问题可先将相邻的元素“捆绑”起來，看作一个“大”的元素与其他元素排列,然后再对相邻元素内部进行扌非列。［例5］7人站成•排照相，要求甲、乙、丙三人相邻，有多少种不同的排法？分析：先把甲、乙、丙三人“捆绑”起來看作是一个元素，与其余4人共5个元素做全排列，有A55种排法，而后对甲、乙、丙三人进行全排列，再利用分步计数原理可得：A55A33种

6、不同排法。答案：A55A33（种）。六、不相邻问题：插空法对于某儿个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素在已排好的元素之间及两端的空隙Z间插入即可。［例6］在例5中，若要求甲、乙、内三人不和邻，则乂有多少种不同的排法？分析：先让其余4人站好，有A44种排法，再在这4人之间及两端的5个“空隙”中选三个位置让甲、乙、内插入，则有A53种方法，这样共有A44A53种不同的排法。答案：A44A53（种）。七、顺序固定问题用“除法”（或机会均等问题用“除法”）对于某个元素顺序一定的排列问题，可先把这

7、儿个元素与其他元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这儿个元素的全排列数。［例7］五人排队，甲在乙前面的排法有几种？分析：若不考虑限制条件，则有A55种排法，而甲、乙Z间排法有A22种，故甲在乙前面的排法只有一种符合条件，故符合条件的排法有种。答案：（种）。八、分排问题用“直排法”把n个元素排成若干排的问题，若没有其他的特殊要求，可采取统一排成一排的方法来处理。［例8］7人坐两排座位，第一排坐3人，第二排坐4人，则有种排法。分析：7个人，可以在前后两排随意就坐，再无其他条件，故两排可看作一排来处理，故不同的坐法有A

8、77种。答案：A77（种）九、直接处理难，间接排除法（或称为“总体淘汰法”）［例9］一条长椅上有7个座位,4人处，要求3个空位中有两个空位相邻，另一个空位与这两个空位不相邻，有多少种不同的坐法？分析：7个座位4个人去坐有A74种方法，其中不符合题意的处法有两类：（1）3个空位相邻,把它们看成大元素，有A55种不同的坐法。（2）3个空位彼此不相邻，那么3个空位