点落入误差曲线内的概率研究

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1、点落入误差曲线内的概率研究(1中国矿业大学环境与测绘学院江苏徐州2210082江苏省资源环境信息工程重点实验室，徐州221008)扌商要：点的平而泯差轨迹为谋差曲线，而我们以前一般用谋差椭圆代替。研究了点落入曲线内与落入误差椭I员I内的概率，从概率的角度分析了误差曲线与谋差椭圆的不同，得出了点位落入误差曲线与误差椭圆内的概率Z间具有很明显的差别的结论，为应用误差曲线对高精度工程点位课差进行精度分析提供了更为可靠的依据和新的可行的方法。关键词：误差椭圆；误差曲线：点位误差：二维止态分布概率：龙贝格积分—、弓I

2、言在测量工作中，特别是在精度耍求较高的工程测量中，点位谋差椭圆是常用的非常重要的衡量精度的指标。误差椭岡可以用于检验点位精度，在很多教材及文献小都有提及卩23⑷。而未知点P在各个方向上的位差形成的轨迹是误差曲线山。过去，由丁•考虑到误差曲线不是典型曲线,作图相对困难，所以常用误差椭圆来代替误差曲线。[1,3]经研究，相关文献都只讨论点位落入误差椭圆内的概率，没有讨论点位落入误差崩线内的概率，既然误差曲线才表示点坐标平差值在各方位上的位差，而只研究点位落入误差曲线的替代物误差椭鬪内的概率显然在理论上是不够准确

3、的。本文研究了点位落入误差曲线内概率，首次使点位落入某误差范围内的概率与点的谋差分布实现了真止的一致，在理论上更加严密，为应用误差曲线对高精度工程点位误差进行精度分析提供了依据和新的可行的方法。二、点落入误差椭圆内的概率根据文献[1]的描述，经过标准变化后，二维止态分布的密度函数为,]x(1)12ttEFM'P：E为点位谋差的极大值，F为点位谋差的极小值(2)作者1简介:张书毕(1965-),男，汉族，安徽肥西人,博士,教授,博士生导师。研究方向:测量数据处理和GPS应用研究。中国矿业大学环境与测绘学院空间

4、信息系系主任。作者2简介：张秋昭，男.1985年5月生，汉族，河南长垣人，硕士住。研究方向：现代测量数据处理。k取不同的值，为一族同心的误差椭圆，记作乞现在讨论待定点落入误差椭圆P((x",y")uBp)内的概率，即P(£y〃)uBQ=血心,)，〃阳)，訂「躺exp{—*(备+为)阳y⑶在上述式了•中作变量代换，容易得出：点落入误差椭岡内的概率为：(Q、P((x",y")uBJ=l—exp—[U3](4)2丿其中，k取值(1,2,3,…)，常用來表示中误差的倍数。三、点落入误差曲线内的概率通常在研究点的平

5、面朋标的课差时，总是假设其符合二维止态分布，二维止态分布在平面上的投影区域的确是椭岡。但根据点在各方向上的误差求得的点位误差轨迹却是误差曲线。⑴由式(3)可知，求点落入误差椭圆内的概率，是对标准形式的椭圆积分，同样我们求点落入误差曲线内的概率，也是要对对应于标准形式的误差椭圆的误差iHl线积分若选x轴为起始方向，方位角0为极坐标角，该方向上的位差辺,为长度，所得极坐标点的轨迹即为误差曲线。因此，误差曲线的极坐标方程为i®,&=此=E2cos2(p+F2sin2(p(5)因为>?=:g©cos(p=Je，co

6、s20+F?sin2(p-cos(p(6)X=6/^+2^(E2-F2)sin4^=4(2E2-F2)Rsin2(pd(p+8p(F2-E2)sin4(p(l(p而（5）式的隐式方程为：x4+y4+2x2/-E2x2-F2/=0,由上式改写为显式方程为⑵:现在讨论待定点落入误差曲

7、线内的概率P（（兀，刃uD）,其屮D是误差卅线围成的平面区域。山于误差曲线不是典型曲线，在对上式积分时，不能想对误差椭圆积分那样经过简单积分得出。经过仔细研究，我们引用了一种求不规则二维正态分布曲线的思想，并经过对公式周密推算，加以延伸，可以对课差曲线这一不规则曲线进行积分，从而求出点落入误差曲线内的概率。二维止态随机变量（X,Y）满足N（0,0,E2,F2,0）在原点型区域D上的概率P©,y）uD）的近似值为，卩{（兀,y）w£>}u1—exp卜呪］.尸一卡靠［/（州」）-/^,%）］⑸⑼其中区域D为原点

8、型区域，其面积为Sd，区域Q（»为正态随机向量（兀,y）的等概率椭圆域，且Sq二S»,我们称区域。为区域D的参照域，雪为补偿域，即区域G在区域D以外的部分区域,f（x{,）［）=maxf（x2,y2）=min{/（兀,y）}其中（兀,y）wE,L为区域D的边界。p2.p2••对应的谋差曲线的面积其屮E,F分别对应式二+亠屮的和F・k°2E~F~的椭圆域，其长轴El=£-Jt,短轴=补偿域霸为区域。在区域D以外的部