第17章回归分析

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1、第17章回归分析§17.1相关关系与相关系数17.1.1相关关系17.1.2相关系数17.1.3相关系数r的性质与示意图17.1.4相关系数的检验§17.2一元线性冋归17.2.1模型17.2.2回归系数的最小二乘估计17.2.3计算步骤17.2.4回归方程的显著性检验17.2.5利川冋归方程作预测17.2.6利用回归方程作控制§17.3可化为一元线性回归的非线性回归17.3.1问题17.3.2确定曲线回归方程形式17.3.3曲线冋归方程中参数的估计17.3.4曲线回归方程的比较§17.4多元线性回归1741问题与模型17

2、.4.2冋归系数的最小二乘估计17.4.3回归方程的显著性检验17.4.4对冋归系数的显著性检验17.4.5利用回归方程进行预测17.4.6统计软件的应用第17章回归分析§17.1相关关系与相关系数17.1.1相关关系在实际工作中，我们经常与变量打交道，它们是处在一个共同体中的若干个变量。变量间常见的关系有两类：（1）确定性关系:警如正方形的血积与边长2间有关系：S二电路中有欧姆定律V=IR等。这些变量间的关系完全是已知的，可以用函数尸肛）来表示，X（可以是向量）给定后,y的值就唯一确定了。（2）相关关系：变量间冇关系，但

3、是不能用函数来表示，譬如：例17.1.1由专业知识知道，合金的强度y（X107Pa）与合金中碳的含量x（%）有关。为了牛产强度满足用户需要的合金，在冶炼时如何控制碳的含量？如果在冶炼过程中通过化验得12组数据,列于下表中:表17.1.1合金钢的强度与钢中的碳含量数据序号iXi(%)y(X107Pa)10」042.020.1143.030」245.040」345.050」445.060」547.570」649.080」753.090.1850.0100.2055.0110.2155.0120.2360.0为解决这类问题就需要

4、研究两个变量间的关系。为了研究两个量间存在什么关系，可以画一张散点图，即将一对数据看成直角坐标系中的一个点。例17.1.1的散点图如下：图17.1.1散点图从图中，我们可以看出，当碳含量増加时，合金钢的强度也有增加趋势，但是它们间无法用一个函数关系來表示。称这类变量间的关系为相关关系。这类相关关系在实际中普遍存在，譬如儿子的身高与父亲的身高;教育投资与家庭收入;体重与身高；营业税税收与商品零售额等。17.1.2相关系数当散点图呈现图17.1.1的形状，即n个点基本在一条直线附近，但又不完全在一条直线上，我们希望用一个量來表

5、示他们间的密切程度，这个量称为相关系数，记为r,它被定义为：£（兀一刃（兀-孑）r£（石-元）2龙®-刃2卩忑/=!/=1y=£儿分别为变量x与y的平均值;/=!Lxy-可®—刃=£兀y{—nx-y是诸七的偏差与诸的偏差的乘积和1=11=1厶：V=£（兀—可2=-nx2是诸Xj的偏差平方和/=11=1L厂£（儿-y）2=ty--ny2是诸x的偏差平方和/=11=1下面对例17.1.1进行计算:（1）计算均值:x=0.1583,y=49.2083,（2）计算平方和与乘积和：=0.3194,Zxji=95.9250,=2939

6、2.75（3）计算:L=0.3194-12x0.15832=0.01869Lyy=29392.75-12x49.20832=335.2292Lvv=95.9250-12x0.1583x49.2083=2.4292s、丄苗S2.42921.4292n_（4）计算：r=（==i==0.9705』L丄VO.OI869x335.22922.503117.1.3相关系数t的性质与示意图性质：可以证明有JWrW1或

7、r

8、<1o相关系数r的大小是农示两个变量兀与y之间线性相关的程度。当r=±l时，n个点在一条直线上，这时两个变量间完全线

9、性相关。（如图17.1.2a,b）当口）时，称两个变量不相关，这时散点图上n个点可能毫无规律，也可能两个变量间有某种曲线的趋势，也可能有新的关系等待研究。（如图17.1.2g,h）当r>0时，称两个变量间具有正相关，这时当x的值增加时，y的值也有增人的趋势。（如图17.1.2c,d）当r<0时，称两个变量间具有负相关，这时当x的值增加时，y的值有减少的趋势。（如图17.1・2e,f）(a)yr=l,完全线性正相关(b)yr=-l,完全线性负相关强正相关变量Z间有很强的正相关性，喑示变量之间可能存在显著的因果关系。在此模式下

10、，一般能够建立起有效的回归方程。弱正相关变量之间有一定的正相关性，喑示变量Z间可能存在较弱的因果关系，或者变量（其屮Z一或全部）受其他变量的显著影响。强负相关变量之间有很强的负相关性，暗示变量之间可能存在显著的因果关系。在此模式下，一般能够建立起有效的回归方程。弱负相关变量Z间有一定的负相关性，暗示变量