探究性立体几何

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1、1.在正三棱柱ABC—A】B

2、C］中，所有棱的长度都是2,M是BC边的中点，问：在侧棱CC】上是否存在点N,使得异面直线AB)和MN所成的角等于45°?2.如图，在长方体ABCD-ABGD：中AD^AAfIE为CD中点.9(I)求证:BiE丄ADi(II)在棱AA上是否存在一点P，使得DP//平面B、AE?若存在，求AP的长;若不存在，说明理由.(III)若二面角A-B.E-A,的大小为30°,求的长.3.如图，在底而是菱形的四棱锥P—ABCD中，ZABC=60°,PA=AO°,PB=PD=JL,点E在PD上，且PE:ED=2:1.(I)证明PA丄平面AB

3、CD；(ID求以AC为棱，EAC与DAC为面的二而角&的大小；(III)在棱PC上是否存在一点F,使BF//T面AEC?证明你的结论.如图，在长方体ABCD—ADCD屮AD=AAi=lE为CD屮点.(I)求证:BiE丄A5(I)在棱M上是否存在一点P，使得DPH平面B}AE?若存在，求AP的长;若不存在，说明理由.(II)若二面角A-B.E-A.的大小为30；求的长.【方法归纳】点F是线PC±的点，一般nJ设~PF=XPC,求出久值，P点是己知的，即可求出F点解：(1)以点A为原点建立空间直角坐标系，设AB=ai则4(0,0,0),D(0,1,0)4(0,

4、1,1),Eq,1,0),色⑺,0,1)'•'•(1‘•■(1.・.AD}=(0丄1),QE二(—〒1,—1),AB严0,l)?X£=(-丄0)A^«^£=--x0+lxl+(-1)x1=0,故B】E丄AD.⑵假设在棱上存在一点P(0,0,r)，使得DPH平面B、AE，则DP=(0,-1,f)_n・AB】=0设平面BXAE的法向最为n=(x,y9z),则有<=>n・AE=0得n=(l,--,-a),要使DPH平面B、AE,只要丽丄方2.•.--6ir=0=>r=-,又DPu平面B.AE,存在点P使DPH平面B.AE,此时22AP=-.2⑶连接A0B1C,由

5、长方体AA{=AD=t得人。丄A0・・・BQIA、D,..AD、丄BQ,由(1)知丄A®,故的丄平面DCBxArAD}是平面DCB}A{的法向蜃，而AD}=(0,1,1),则cos=AD{-n•••二面角是30。，所以，即AB=2在正三棱柱ABC—A】B]G中，所有棱的长度都是2,M是BC边的中点，问：在侧棱CC1上是否存在点N,使得异面直线AB

6、和MN所成的角等于45°?解：以A点为原点，建立如图9・6・5所示的空间右手直角坐标系A-xyz.因为所冇棱长都等于2,所以A(0,0,0),C(0,2,0),B(V3,1,0),Bi(V3,1,

7、2),M(—,-,0).22点N在侧棱CC

8、上，可设N(0,2,m)(0

9、=2V2,

10、W

11、=a/^2+1,人也•顾=2m・l.如果异面直线AB,和MN所成的角等于45。,那么向量两和莎的夹角五■而2m-1是45。或135。，而cos=

12、AB

13、

14、•

15、MN

16、=2血•厶？+1,—2加7V23所以2血+1=±2.解得m=-4,这与0

17、C=°,PB=PD=JL?，点E在PD上，且PE:ED=2:1.(I)证明PA丄平面ABCD；(II)求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角&的大小；(III)在棱PC上是否存在一点F,使BF//平血AEC?证明你的结论.(I)证明因为底面ABCD是菱形，ZABC=60°,所以AB=AD=AC=cz,在APAB中,由PA2+AB2=2«2=PB2矢UPA1AB.同理，PA丄AD,所以PA丄平面ABCD.(II)解作EG//PA交AD于G,由PA丄平而ABCD.知EG丄平面ABCD.作GH丄AC于H,连结EH,贝IJEH丄AC,ZEHG即为二而角〃的平面角

18、.乂PE:ED=2:1,所以EG=-a,AG=-a,GH=AGsin60°=—a.333从而tan^=—=—,0=30°.GH3(III)解法一以A为坐标原点，直线AD、AP分别为y轴、z轴，过A点垂直平面PAD的氏线为兀轴，建立空间肓角坐标系如图.由题设条件，相关各点的坐标分别为11A(0,0,0),5(^-a--a,0),C(^-a,-a,0).21Q(0,a,0),P(0,0,a),E(0,「,「).所以AE=(0,—tz,—6t),AC=(―^—tz,—6f,0)._k_/71AP=(0,0,d),PC=(-a-a-a).BP—(———ci,-Q,

19、d).22―►―>1设点F是棱PC上的点，PF=APC=(—aA-