数值计算方法指导书

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1、《数值计算法方法》实验指导书实验一插值法2实验二曲线拟合的最小二乘法5实验三矩阵的特征值和特征向量8实验四数值积分11实验一插值法一、实验目的1.掌握拉格朗日插值、牛顿插值、分段低次插值和样条插值的方法。2.对四种插值结果进行初步分析。二、实验内容插值问题的提法是：给定函数/（x）在［o,b］中互界斤+1个点兀0，西,七，£的函数值兀=/（兀）（z=0,1,•••,«）或X兀0人1兀2…£y)'b〉?1儿…儿求函数①C0使其在无处与f（xi）=yi相等。称①（兀）为/（%）的插值函数,为插值区间，兀为插直节点，/（X）为被插函数。1.拉格朗口插

2、值插值基函数:l°（x），h（x）,?2⑴，…,ln（X）为兀次多项式人（兀）=（兀兀0）…（兀一忑一］）（兀心+］）…（兀一兀”）（心一兀0）…（忑_忑一1）（兀一®+1）…（®一£）n口丿=0jH«X-Xj插值基函数的性质:iHk(k=0丄…/)(2)（2）lk（x）（k=0,1,•••,〃）为插值节点无）,州,兀2,…，兀唯一确定的〃次多项式。（3）拉格朗F1插值所包含基函数个数与插值节点个数相同。2.牛顿插值线性插值可用插商形式表示为PiU)=/Uo)+—(x-x0)=/(x0)+(x-x0)/[x0,x1l州一X()由差商的定义知f(

3、x)=/Uo)+(X-XQ)f[x,XQ]/[X,x0]=/(x0,x})+(x-xl)f[x,x0,兀]]匕兀…，兀=/[xo,xp---,xj+(x-xj/[x,xor-sxj将上式依次代入得:/(X)=/(XO)4-(X-XO)/[XO,X1]4-(X-XO)(X-XI)/[X,XO,X1]+---+(兀一兀o)(x—西)…(兀一£_1)/[兀0,兀1，…，兀“]+(x-xo)(x-xl)---(x-xj/[x,xo,«--,xj取^w(x)=/(x0)4-/[x0,x1](x-x0)+/[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+--

4、-+/[xo,x1,---,xj(^-x())(x-x1)---(x-xn_1)心⑴=(兀一兀0)(兀一X])…(兀一£)/*[兀，兀0,…，兀J=a)n+l(x)f[x,x09••-9xn]所以/Cx)=N”(x)+/?,©)且R”a)=®+ia)/[go，…，兀]=°3.分段低次插值给定函数/(X)在［d,b］中互异兀+1个点兀0,兀］，兀2,…，兀”的函数值儿(i=1,2,•••/),若要求于(兀)的近似函数①(兀)，可求一分段函数，使其在每一小区间［兀1，引上为线性插值函数,即、X—XX—Xs①(x)=厶⑴=——」汕+——』X兀e［仏,

5、兀］坷t一舛禺-兀1称为分段线性插值，即用折线代替曲线。4.样条插值区间［a,切的一个划分A:tz=x0

6、2().381380.368120.35206（1）用分段线性插值;（2）分段二次插值；（3）拉格朗日插值。2.已知X2468y1357构造差商农，求牛顿差值函数。四、实验报告实验报告应包括以下内容：（1）题tl;（2）写出算法设计思想；（3）程序清单；（4）运行的结果；（5）所得图形；（6）四种插值的比较；（7）对运行情况所作的分析以及木次调试程序所取的经验。如來程序未通过，应分析其原因。实验二曲线拟合的最小二乘法一、实验目的1.了解最小二乘法的定义。2.掌握求解最小二乘法的方法。二、实验内容1.多项式拟合设已知点(兀•』•)i=o求加次多项

7、式耳(兀)來拟合函数/(x)设Pm(x)=a。+坷兀+…+amxm,求。。，坷，・・・，％使2尸仙卫】，…,九)=£/=£［%-化(兀)］最小/=1/=1所以—=2Ef^_匕(兀)记=刃x一工叭£u/=°CClj1=1/=0“0m“斤即X务(工斤')=工X-x/J=0,1,2,•••,mk=()/=1/=!得线性方程组：叫+d］工兀+…+%工X=XX/=11=11=1a0EXi+同5*+…+am£<+,=£y內加+1..2m加QoZ无+4乂兀+…兀=L、i=l/=1/=1/=12.指数拟合对已知点(x.,y.)z=l,2,•••,/!在坐标纸上

8、描点，若近似于一条指数曲线，则考虑用指数函数y=beax来拟合数据，即求使F(a,b)=£(y：—b严亍最小，由于是非线性方程，求解复杂。/=1又因为