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1、验算点法在工程结构可靠度编程中的运用（北京航空航天大学交通科学与工程学院，北京，100191）摘要：用验算点法对可靠度编程中的关键问题进行了探讨并给出了解决方法。这些问题主要包括随机变量服从正态分布的情形且功能函数为非线性和随机变量不服从正态分布时的当量正态化方法。针对这两种情况运用了两个编程算例来说明验算点法在可靠度分析中的运用。关键字：验算点法、可靠指标、正态分布函数、非正态随机变量、当量正态化1.前言结构可靠度为结构在规定的时间内和规定的条件下完成预定功能的概率。结构可靠性理论的研究，起源于对结构设计、施工和使用过程屮存在的不确定性的认识，以及结构设计风险决策
2、理论屮计算结构火效概率的需要。结构可靠度计算方法冇一次二阶矩方法、二次二阶矩方法、蒙特卡洛方法及其他方法。一次二阶矩方法又分为中心点法和验算点法，其中验算点法是目前可靠度分析中最常用的方法。山于这两种方法都是将非线性功能函数作为一次泰勒级数展开，并使用了随机变量的平均值（一•阶矩）和方差（二阶矩），故称为一次二阶矩方法。利用验算点法计算结构的可靠指标时，需要预先知道验算点的坐标值，而对于非线性结构功能函数和非止态随机变量的情形，验算点绝标值是不能预先求得的，因此一般需要迭代求解。2.随机变量服从正态分布的情形2」功能函数为线性函数功能函数随机变最Z是一个正态随机变最
3、，其概率密度函数和U的密度曲线如图1示图1—个随机变量时的可靠指标（左图为正态随机变量，右图为标准正态随机变量）假定存在n个相互独立的随机变量，X
4、,X2,…,X”，其均值为冷*亿，…,“x”，标准差为0八0厂…结构功能函数为:Z=gx(X],X2，X3・.・Xn)=°o+(.1)r=l其中①(心1,2,3..力)为常数将随机变量x.(i=1,2,3.』)变换为标准正态随机变量y；.(/=1,2,3.』)Y.=X—，(i=i,2,3.M)%则由(1)表示的功能函数表示成H”打z=8y(Yi，丫2，丫3…Yn)=兔+工4(“X,+叹匕)=aQ+/=1f=li=l从
5、而功能函数的平均值和标准差表示为/=12Xi“z=a()+工①Qx,i=l按照严格的可靠度指标定义°z心1Z=1可靠度指标和结构失效概率存在精确的对应关系对极限状态方程z=°。+工+工®Qx,Y=o/=!/=!两端同时除以得到:7?H上i=0i=l(4)与公式(3)比较，有工「:_0=0'^a2,cr2x./=!E22aqx./=!公式(5)nJ'以写成:(i=1,2,3,…m)£a/_0=£cos时_0=0*=1'i=i7?公式(6)表示的是一法线式的直线方程，COS0为法线与处标轴夹角余弦工COS色=11=1图2可靠度指标的儿何意义及验算点验算点在丫空间(标准止
6、态空间)表示为：y*=(y；,y；,y；…y；)在X空间表示为：x*=(x；,x；,x；..X)两者之间的关系为：x*=“x,+°丿：(i=1,2,3,..")根据儿何关系有：y*=/3aY=/?cos0Y(z=1,2,3,..力)在X空间,验算点坐标值:x*=“x,+°"xPaYt=“x+0bxcos3y(i=1,2,3,・・.m)通常表示为：x*=“x,+(JxtPaxl-Ax,+卩JcosOx(z=1,2,3,…〃)2.2功能函数为线性函数假定随机变量X
7、,X2,…,X”服从止态分布，但结构功能函数不再是线性函数，显然，这时糟确求解Z的平均值和标准差是非常困
8、然的。同结构功能函数为非线性的情形一样，如果将町靠指标定义为标准止态处标系中处标原点到极限状态曲面的距离，垂足为验算点，则不管结构极限状态方程的数学表达形式如何，只要具冇和同的力学或物理含义，在标准正态坐标系屮，所表示的祁将是同一个
9、11
10、面，
11、11
12、面上与坐标原点距离最近的点也只有一个。因而，所得到的可靠指标是唯一的，不像屮心点法那样，随结构极限状态方程数学表达式的形式而变。图3验算点取法如果验算点已知x*=（乂；，乂；，乂；…兀；；）可以在该点一-次项展开:Z厶二gxG；工,其均值和标准差为:“z?=EZ厶=gX（x：,x；,x；••.X；）+£pjx）（EX，
13、.-X.）z=ii=gxG:所以可靠度指标:%实际上验算点不可知，需要补充条件：x*=“x+cos&x(z=1,2,3,../)对比表达式得到:(/=1,2,3•力)2.3编程算例假定结构功能函数为Z=^x(X1,X2)=X,X2-1000o随机变量X“X2的平均值和标准差分别为Ax,=38,
