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1、3、运用几何图像得出代数公式的典型例子一、勾股定理（在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方和一定等于斜边长的平方。）如图，这个大正方形的而积等于四个三角形和一-个小正方形的而积之和，可得：cA2=（ab/2）*4+（a-b）A2化简得：cA2=2ab+aA2-2ab+bA2cA2=aA2+bA2如图，a、b、c为一个直角三角形的三条边。其中a、b为直角边（avb）,c为斜边。以这三条边分别做三个正方形。可得，人正方形的面积等于其余两个正方形的面积和。所以，aA2+bA2=cA2从这张图可以得到一个矩形和三个三角形，推导公式如下：b（a+b）=1/2cA2+ab+1/
2、2（b+a）（b・a）矩形面积=（中间三处形）+（下方）2个直角三和形+（上方）1个直角三角形。（简化）2ab+2bA2=cA2+bA2・aA2+2ab2bA2・bA2+aA2=cA2aA2+bA2=cA2如图：已知两个完全相等的直角三角形，斜边长都为c,直角边较长的为b,较短的为c.证明：延长BE与AD和交于点E。则：・•・EF/CD=AF/AD=AE/AC=a/bAEF=aA2/bAF=ac/b•・•两个直角三角形完全相等AZBAE+ZFAE=90°・•・在直角三角形BAF中,冇：1/2AExBF=1/2BAxAF(ABAF的而积)/.AEx(BE+EF)=BAxA
3、F即：a(b+aA2/b)=c(ac/b)化简，得：aA2+bA2=cA25、连结AD,因为对称的缘故，所以ZBAD二ZFAD二ZCDA二ZEDA=45°,那么很明显,图三中角A，和角D嘟是直角。证明：第一张纸片多边形ABCDEF的面积S仁S正方形ABOF+S正方形CDEO+2SABCO=OFA2+OEA2+OFOE第三张纸片屮多边形A'B'CDE'F的面积S2=S正方形B,C'E,F'+2AC,D,E,=E,F，A2+C,D,-D,E'因为S1=S2所以OFA2+OEA2+OFOE二E'F'A2+CD・D'E'又因为C'D*=CD=OE,D,E,=AF=OF所以OFO
4、E二CDDE则OH2+OEA2二E'F'A2因为EF二EF所以0FA2+OEA2=EFA2・•・ZHEF=180—90=90以a,b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于ab/2.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A.E.B三点在一条直线上,B,F,C三点在一条直线上,C,G,D三点在一条直线上.•・•RtAHAE竺RtAEBF,・•・ZAHE=ZBEF.•・•ZAEH+ZAHE=90,・•・ZAEH+ZBEF=90.・•・四边形EFGH是一个边长为c的正方形.它的而积等于cA2JRtAGDH竺RtAHAE,・•・ZHGD=ZEHA.
5、•・•ZHGD+ZGHD=90,・•・ZEHA+ZGHD=90.XVZGHE=90,・•・ZDHA=90+90=180.・•・ABCD是一个边长为a+b的正方形,它的而积等于(a+b)幔・•・(a+b)A2=4*(ab/2)+cA2・•・aA2+bA2=cA2Ill7、以a,b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形则每个直和三角形的面枳等于ab/2.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A.E.B三点在一条直线上.丁RtAEAD•••ZADE=JZAED+•••ZAED+9RtACBE,ZBEC.ZADE=90ZBEC=90•••ZDEC=180—90=90.•••
6、ADEC是一个等腰直角三角形尼的面积等于"2/2XVZDAE=90,ZEBC=90,・•・AD
7、
8、BC.・•・ABCD是一个直角梯形，它的面积等T(a+b)A2/2・•・(a+b)A2/2=2*ab/2+cA2/2•••aA2+bA2=cA2.二、完全平方公式1、(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2aba如图，大正方形的面积等于两个小正方形和两个长方形的面积和。(a、b分别为两个正方形的边长)可得：aA2+bA2+2*ab=(a+b)A2可以得出完全平方公式：(a+b)A2=aA2+bA2+2ab2、如图，由三个全等的直角三角形拼成的一个正方
9、形。・・•大正方形的面积为(a+b)八2,小正方形的而积为cA2,三角形的面积为ab/2又•・•大正方形的面积等于小正方形和三角形的面积和・•・(a+b)A2=cA2+(ab/2)*4化简得(a+b)八2=aA2+bA2+2ab三、平方差公式(a+b)(a-b)=aA2-bA2如图，这是一个人正方形“减去”一个小正方形所得的图形。其中大正方形的边长为a,小正方形的边氏为b。如图，大正方形被减去一块并“补”在另一边。可得血积的等式为aA2-bA2=(a-b)(a+b)这就是平方差公式
