论文三(闻锋)

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1、论文三(闻锋)论文三：圆锥曲线问题屮的“设而不求”东城：闻锋设而不求是解析几何屮一种常川的重要方法和技巧，它能使问题简化。但如何使川这种方法，在使用中应注意哪些问题，却经常困扰着同学们。在此笔者愿跟大家谈谈对上述问题的看法与认识。•、哪些问题适合“设而不求”一般说来，解题中涉及不到但乂不具休求出的中间量(称为相关量)可采収“设而不求，整体思想”。具体体现在：①与弦的中点有关的问题；②定值与定点问题；③对称性问题。中点坐标公式、斜率公式和根与系数的关系是“设而不求，整体思想”的马前卒。1、与弦中点有关的问题x2y21的一个内接三角形，且A(0,4),若ABC的例1、已知ABC是椭

2、圆2016重心恰为椭圆的右焦点，求BC边所在直线的方程。解：易求得椭圆的右焦点为F2(2,0),令B(xl,yl),C(x2,y2),由重心公式,得0xlx22xlx263,B卩。yy44yy211203BC的中点D(3,2),乂B、C在椭圆上，xlyxy11,221,20162016222222x2xl2y2yl20,两式相减，得20162y2yly2yly2yl244,即。22x2xlx2xl55x2xlkBCy2yl6。x2xl56（x3）,即6x5v280o5由点斜式，BC边所在直线的方程为y2点评：与弦中点有关的问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在的直线斜率、弦的中

3、点坐标联系起来，和互转化。同时还应充分挖掘题tl的隐含条件，寻找量与量之间的关系灵活转化，往往能事半功倍。2、定点问题例2、设抛物线y2px(p0)的焦点为F,经过焦点F的肓线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线的准线上，且BC〃x轴，证明直线AC经过原点0。2解：设过焦点F(pp,0)的直线AB的方程为xmy,A(xl,yl),B(x2,y2)。22pxmy由2,消去x,得y22pxy22pmyp20。yly2p2。kCOv22pvlkOA,故AC过原点0。pylxl2P，而不用点斜式，可回避对直线AB的斜率K2点评：巧设过F的直线方程xmy是否存在的分类讨论。同时“用根与系数

4、的关系”达到设而不求的H的。3、对称问题x2y21上存在两个不同的点关于直线y4xm对称，试确定例3、已知椭［列43m的取值范围。解：由题设，有直线y在肓线y4xm±olxn与椭圆交于P、Q两点，且P、Q的中点(xO,y0)4x2y2143由，消去y,得ylxn413x8nx16n480①22x方程①有两不等实根，64n2413(16n248)0,解得n设P(xl,yl),Q(x2,y2),则。2xOxlx24nl12n,yOxOn。A413213又PQ屮点在直线y4xm上，冇12n4nl3m4m,n,1313413m22,□m131342点评：根据题中隐含着的一•元二次方程的

5、根的存在性，以中点为桥梁，利用判别式建立不等关系，求参数的取值范I韦I。此类问题也可借助圆锥曲线的几何性质求解。二、“设而不求，整体思想”中应注意的两个问题1、注意隐含条件x2y21例4、已知双曲线42⑴过M(l,1)的直线交双曲线于八、B两点，若M为弦AB中点，求直线AB的方程。(2)是否存在直线1,使点N(l,)是直线1被双曲线所截弦的屮点？若存在，求出直线1的方程，若不存在，说明理由。12xyxy解：⑴设A(xl,yl),B(x2,y2),则111,221,424211(xlx2)(xlx2)(yly2)(yly2)0o42又xlx22,yly22,2222yly2111

6、kABoy1(x1)即y(X1)022x1x22x2y21检验，满足0,代入42l(xl)o211(2)假设存在,则2(xlx2)1(ylv2)0,4211yx1,即yx。22直线AB的方程是y代入x2y4中，得22199x22(x)24,x22x0,440。222不存在2、注意参数对取值范围的影响例5、求过点P(0,2)的直线被椭圆x22y22所截弦的中点的轨迹方程。解：(1)当过P(0,2)的直线的斜率k存在时，设其方程为ykx2,代入x22y22中，消去y,得(2k21)x28kx60,由0,得k①。设直线与椭圆的两个交点为A(xl,yl),B(x2,y2),中点坐标为C

7、(x,y),则62xlx24kx22k21,消去参数k,得x22(y1)22。2ykx22k21由①知，x4k2k2142k1k216(0,),,y222k12故所求弦中点的轨迹方程为x22(y1)22,其中x1,且0y。22(2)当所做直线的斜率不存在时，所截弦中点为C(0,0)亦满足上述方程。综上所述，所求弦中点的轨迹方程为x2(y1)2,22其中x16,J10yo22点评：消参过程屮，应重视参数取值范I韦I对其它相关变量的影响，确保等价性。练习y21交于M、N两点，求弦MN的中点P的轨