［推荐］王学艺论文

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1、常微分方程在函数项级数求和中的应用作者：王学艺指导老师：张海摘要本文主要介绍了常微分方程几种常见的解法、函数项级数的基本概念和性质.然后运用常微分方程求解几类函数项级数的和函数，最后结合例题说明其在解题中的应用.关键词常微分方程函数项级数和函数1引言对于常微分方程的棊木解法、函数项级数求和的基木方法大部分教材都冇详细论述.本文给出微分方程在函数项级数求和的几种解法,并探究其在解题中的应用.2常微分方程常见的几种解法2.1常系数齐次线性微分方程解法分析形如卩")+...+%』+%y=/(x)(1)的方程称为n阶常系数线性非齐次方程，其中®

2、e/?(z=1,2,…，町，如果/(x)=0,即y何+坷严)+…+an_{y+any=0(2)称为h阶常系数线性齐次微分方程.为求方程⑵的解，可以川特征根法(或称劭如待定指数函数法)，其基本思想是将微分方程⑵的求解问题转化为代数方程：2"+兄"1+...dA+(in—0(3)的求根问题.因此不必经过积分运算，只要求出方程⑶的全部根，就能写出方程⑶的通解,问题彻底解决.根据解的结构定理，只耍求出方程(1)的的任一特解)借助于方程(2)的通解，就可写出方程(1)的通解.求方程(1)的特解:/的方法有常数变易法，待定系数法，拉普卡斯变换法.常

3、数变易法是求特解(1)较一般方法，适用于较为一般的函数/(兀)，缺点是计算较为繁琐，而且还必须进行积分运算，可能会遇到积分上的困难，此解决还有一个缺点是c；(x)(z=1,2,…，町满足的方程组不易推导，因此在求方程(1)的特解y*时，一般不提侣此法•其余二种解法只适用于f(x)=exPltt(

4、）二人=Mnxn‘f（兀）=（/.（兀）,£（兀），£（兀）『•当F（x）=0时,即dy丁=羽⑸dx称为一阶常系数线性齐次方程组.求方程（5）的解，-•般需先考虑A的特征根。当A的特征根为单根时，用特征根法，此时只需提出每个特征根所对应的特征根向量，便可得到方程组⑸的通解；（当特征根时单复根时,盂引入复根的概念在经过技术处理得到实解）；当4的特征根冇重根时，用特定系数法,也可以用A的特征根求出指数矩阵严而得到方程组⑸的通解,还可以不考虑A的特征^Laplace变换法求解,至于求方程组（4）的某一特征解才，一般用常数变易法.2.3典型例题

5、（1）特征根法例1求方程与-兀=0的通解.dt解特征方程r-i=o的根为入=1,入=-1,入=匚血=—l冇两个实根和两个复根,均是单根，故方程的通解为x=cf"+c7e~r+c3cost+C4sint,这里c,,c2,c3,c4是任意常数.求解方程窖+x=0.解特征方程为才+2才+1=0,或（”+1）2=0,即特征根是重根.因此，方程有四个实值解cos/Jcossin/Jsin匚故通解为x=(c)+c2t)cosr+(c3+c4Z)sint，英中cpc2,c3,c4为任意常数.(2)常数变易法例3求方程tx-x=t2于域心0上的所冇解.

6、解对应的齐次线性微分方程为tx-x=0,求得它的基本解组.事实上，将方程改写成y11—二一，积分即得X=At,所以x=-At2+B,这里£3为任意常数易见基本解组1,尸为应xt2用上面的结论，我们将方程组改写为X--X=ty并以X=C()+C2(f)尸代入，可得决定q(/)和C2⑴的两个方程：q(f)+t2c2(f)=0及2tc2(^)=t于是心⑴二丄/+二一匕3+x，故得原方程组的通解为兀=并+〃2+丄户,这里263片,了2是任意常数，它包含了方程组的所有解.(3)比较系数法(1^xdx例4求方程^4-2—-3%=^的通解.dt2dt

7、解从上例知道对应的齐次线性微分方程的通解为兀=¥引+字7其中cpq为任意常数.现求原方程的一个特解，这里/(/)=k,因为2=-1刚好特征方程的单根,故有特解形如x=Ate~l，将它代入原方程得到-4Ak二以，从而A=--，于是4x=--te~,，而原方程的通解为43函数项级数、幕级数概念与性质3.1函数项级数定义及其相关性质(1)定义设U

8、(x),u2(x),,un(x),…是定义在/匸/?上的函数,则£«“(x)=U

9、(x)+"2(X)+・・・+"”(x)称为定义在区间/上的(函数项)无穷级数.?

10、=1(2)收敛点与收敛域0000如

11、果X0G/,数项级数工血（兀）收敛，则称％为级数工竝（兀）的收敛点，否则称为发散点.函数项?i=l/?=18级数工知（兀）的所有收敛点的全体称为收敛域，所有发散点的全体称为发散域.n=l（3）和函数在收敛域