机械有限元分析

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1、机械有限元分析第一部分有限元法基础1.绪论1.1定义有限元法（FEM）是随着计算机的广泛应用而产生的一种计算方法。它是近似求解一般连续体问题的数值方法。从物理方面看：它是用仅在单元结点上彼此相连的单元组合体来代替等分析的连续体，也即将待分析的连续体划分成若干个彼此相联系的单元。通过单元的特性分析，来求解整个连续体的特性。从数学方面看：它是使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题，使问题大大简化，或者说使不能求解的问题能够求解。一经求解出单元未知量，就可以利用插值函数确定连续体上的场函数。显然随着单元数目的增加，即单元尺寸

2、的缩小，解的近似程度将不断得到改进。如果单元是满足收敛要求的，近似解将收敛于数确解。名称英文名称创始基本原理简介软件有限差分法FiniteDifferentMethodFDM很古老20世纪80年代PeterA.Cundall(USA)扩展从一般的物理现象出法出发建立相应的微分方程，经离散后得到差分方程，再进行求解。模拟计算岩土类工程地质材料的力学行为。————有限元法TheFiniteElementMethod,FEM20世纪50年代W.Clough(USA)变分原理解决连续介质和非连续介质的小变形问题，应用十分广泛。ANSYS、

3、ABAQUS、ALGOR等边界元法BoundaryElementMethod,BEM20世纪50年代Bitti互等原理适合求解无限区域和半无限区域。————离散单元法DiscreteElementMehtod,DEM1971年，PeterACundall(USA)首次提出牛顿第二运动定律解决非连续介质和颗粒流的工程问题UDEC、EDEM、PFC等流行元法ManifoldElementMethod,MEM20世纪90年代，石根华、林德璋首次提出拓扑流行学处理连续与非连续介质的耦合问题————目前主要的数值分析方法离散元应用的一个例子

4、“离散体”是极其普遍的，如岩石、土壤、沙等真空中粉体填充空气中粉体填充离散元的一个实例粉体的密度分布变化1.2有限元的基本思想推导有限元方程列式建立模型求解有限元列式方程组数值结果表述有限元法求解步骤对于不同物理性质和数学模型的问题，有限元求解法的基本步骤是相同的，只是具体公式推导和运算求解不同。有限元求解问题的基本步骤通常为：第一步：问题及求解域定义：根据实际问题近似确定求解域的物理性质和几何区域。第二步：求解域离散化：将求解域近似为具有不同有限大小和形状且彼此相连的有限个单元组成的离散域，习惯上称为有限元网络划分。显然单元越小

5、（网格越细）则离散域的近似程度越好，计算结果也越精确，但计算量及误差都将增大，因此求解域的离散化是有限元法的核心技术之一。第三步：确定状态变量及控制方法：一个具体的物理问题通常可以用一组包含问题状态变量边界条件的微分方程式表示，为适合有限元求解，通常将微分方程化为等价的泛函形式。第四步：单元推导：对单元构造一个适合的近似解，即推导有限单元的列式，其中包括选择合理的单元坐标系，建立单元试函数，以某种方法给出单元各状态变量的离散关系，从而形成单元矩阵（结构力学中称刚度阵或柔度阵）。为保证问题求解的收敛性，单元推导有许多原则要遵循。对工

6、程应用而言，重要的是应注意每一种单元的解题性能与约束。例如，单元形状应以规则为好，畸形时不仅精度低，而且有缺秩的危险，将导致无法求解。第五步：总装求解：将单元总装形成离散域的总矩阵方程（联合方程组），反映对近似求解域的离散域的要求，即单元函数的连续性要满足一定的连续条件。总装是在相邻单元结点进行，状态变量及其导数（可能的话）连续性建立在结点处。第六步：联立方程组求解和结果解释：有限元法最终导致联立方程组。联立方程组的求解可用直接法、迭代法和随机法。求解结果是单元结点处状态变量的近似值。对于计算结果的质量，将通过与设计准则提供的允许

7、值比较来评价并确定是否需要重复计算。简言之，有限元分析可分成三个阶段，前置处理、计算求解和后置处理。前置处理是建立有限元模型，完成单元网格划分；后置处理则是采集处理分析结果，使用户能简便提取信息，了解计算结果。1.3有限元法在工程中的应用纵观当今国际上CAE软件的发展情况，可以看出有限元分析方法的一些发展趋势：1、与CAD软件的无缝集成当今有限元分析软件的一个发展趋势是与通用CAD软件的集成使用，即在用CAD软件完成部件和零件的造型设计后，能直接将模型传送到CAE软件中进行有限元网格划分并进行分析计算，如果分析的结果不满足设计要求

8、则重新进行设计和分析，直到满意为止，从而极大地提高了设计水平和效率。为了满足工程师快捷地解决复杂工程问题的要求，许多商业化有限元分析软件都开发了和著名的CAD软件（例如Pro/ENGINEER、Unigraphics、SolidEdge、Solid