高中数学极值问题之探点

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1、高中数学极值问题之探点高中数学极值问题之探点利用导数求极值问题，既要掌握求可导函数f(X)的步骤，又耍理解函数的极值是对函数在定义域内某一点附近的小区间而言的，而且还要注意能判定函数f(X)的极值点，特别是耍对f(X)的定义域内的两类“点”都作出判定，即判定定义域内所有导数为0的点,其次是判定定义域内所有不可导点.探点一由函数的极值求参数值已知函数的极值求参数值是函数极值的逆向问题，求解时应该注意两点：(1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解；(2)因为导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必

2、须验证解的合理性.例1设x=l和x=2是函数f(x)=x5+ax3+bx+l的两个极值点，试求a和b的值.分析：由于本题中知道x二1和x=2是丙数的两个极值点，则fz(1)=0,fz(2)=0.解：f'(x)=5x4+3ax2+b,又因为x二1和x=2是函数的两个极值点，则f‘(1)二0、f/(2)=0,即fz(l)=5+3a+b=0,f7(2)=24X5+22X3a+b=0,可以得到a=-253,b=20・反思:本题考查由函数的极值确定函数解析式中的待定系数，解题的切入点是运用极值的含义，由已知向未知转化，通过待定系数法，列出相应的方程，从

3、而求解.探点二求函数的极值问题求函数极值的方法主要有根据定义求函数的极值，根据函数的图象确定函数的极值，用导数来求函数的极值等•用导数求函数极值的具体步骤是：第一，求导数f'(x)；第二，令f'(x)二0求方程的根；第三，列表，检查f'(x)在方程根左右的值的符号，进而判断函数在该点处的极值情况.例2求下列函数的极值：(1)f(x)=x3-3ax2~9a2x+a3,其中a二1；(2)f(2)=l-(x-2)23.分析：求函数的极值注意三个步骤来进行解答.解：(1)当a=l时，f(x)=x3~3x2-9x+l,得f'(x)=3x2-6x~9,令

4、ff(x)=0,得到x=T或x=3.列表讨论f(x)、fz(x)的变化情况：x[]-1)[]-1[](-1,3)[]3[](3,+°°)f'(x)[]+[]0[卜[]0[]+f(x)□□极大值f(-1)[][]极小值f⑶[]所以f(x)的极大值f(-1)=6,极小值是f(3)=-26.(2)当xH2,f'(x)二-23(x-2)-13,f'(x)二0无解；当x二2吋，f'(x)不存在.因此f(x)=l-(x-2)23在x二2处不可导，但当x〈2时，f‘(x)>0；当x>2吋，f‘(x)<0,故函数f(x)=l-(x-2)23在x二2处取得极大

5、值，且极大值为1.点评：根据函数的极值定义，函数在某点处存在极值，则应该在该点的左右邻域是单调的，并且单调性相反，因此要判断函数是否有极值，不能只讨论f‘(x)二0的点处的情况，还要考察f(x)不可导点处的极值情形.探点三由极值情况研究原函数图象的性质由函数的极值判断方程根的变化情况，一般是利用数形结合的思想来讨论方程的根，即先根据函数的极值情况画出函数的草图，再根据图象观察方程的根的变化情况.例3已知函数f(x)=x3-3ax-l,aHO,若f(x)在x二T处取得极值，直线y二m与y二f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围.分析：本

6、题涉及三次函数方程f(x)二m的根，用导数知识确定函数y=f(x)的单调性与极值，根据此可以描绘出三次函数y二f(x)的大致图象与直线y二m的交点个数，由形确定数，可使问题得到解决.解：f(x)在x二-1处取得极值，则f'(-1)二3X(-1)2-3a=0,所以a二1・即f(x)二x3-3x~l,得到f'(x)=3x2-3,由f'(x)二0得到x1二x2二1.当xe(-1,1)时，函数f(x)为减函数；当xW(_oo,-1)和xG(l,+oo)吋，函数f(X)为增函数；由此可以知道，f(X)在x=T处取得极大值f(-1)=1,在x=l处取得极

7、小值f(l)二-3・因为直线y二m与函数y二f(x)的图象有三个不同的交点，乂极大值是1,极小值是-3，结合f(x)的单调性可以知道ni的取值范围是(-3,1)・反思：用导数处理函数图象交点个数问题，是高考中的新题型，要特别重视.探点四用料最省(或费用最低)问题用料最省、费用最低问题求解时要根据题意明确哪一项指标最省，将这一指标表示为口变量x的函数，利用导数或其他方法求出最值，但一定要注意自变量的取值范围.例4统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶过程中每小时的耗油量y关于行驶速度Xkm/h的解析式可以表示为：y二112800x3-380x+8(

8、0〈xW120),已知甲、乙两地相距100km；(1)当汽车以40km/h的速度匀速行驶吋，从甲地到乙地要耗油多少升?(2)当汽车以多大的速度匀速行驶吋，从甲地到乙