数学建模基础 12.4估计水塔的水流量

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1、估计水塔的水流量一、问题美国某州的各用水管理机构要求各社区提供以每小时多少加仑计的用水率以及每天所用的总水量，但许多社区并没有测量流入或流出当地水塔的水量的设备，他们只能代之以每小时测量水塔中的水位，其精度在0.5%以内。更为重要的是，无论什么时候，只要水塔中的水位下降到某一最底水位L时，水泵就启动向水塔重新充水直至到某一最高水位H，但也无法得到水泵的供水量的测量数据。因此，在水泵正在工作时，人们不容易建立水塔中的水位与水泵工作时的用水量之间的关系，水泵每天向水塔充水一次或两次，每次约两小时，试

2、估计在任何时刻，甚至包括水泵正在工作的时间内，水从水塔流出的流量f(t)，并估计一天的总用水量。实例（AMCM-91A题）估计水塔的水流量时间水位时间水位时间水位（秒）（0.01英尺）（秒）（0.01英尺）（秒）（0.01英尺）0313735932水泵工作6853528423316311039332水泵工作7185427676635305439435355075021269710619299443318344579154水泵工作13937294746636335082649水泵工作1792128

3、92499533260859683475212402850539363167899533397252232797572543087932703340285432752605743012322842697645542927表1、某小镇某天的水塔水位表1给出了某个真实小镇的真实数据,水塔是一个圆形柱体，高40英尺，直径57英尺，通常水塔的水位降至约27英尺时水泵开始向水塔充水，而当通常水塔的水位升至约35.5英尺时水泵停止向水塔充水。二、基本假设1、影响水从水塔流出的流率的唯一因素是公众对水的传统要

4、求。2、水塔中水的水位不影响水流量的大小。（因为物理学的定律指出：水塔的最大水流量与水位高度的平方根成正比，由表中数据有说明最高水位和最底水位的两个流量几乎相等）3、水泵工作的起止时间由水塔的水位决定，水泵工作性能效率总是一定的，没有工作时需维修、使用次数多影响使用效率问题，水泵充水量远大于水塔水流量。一、问题的重述（略）对离散数据的处理，可以用数据逼近的方法来解决，本问题要想到用数值逼近来建模，数值逼近的方法有很多，如Lagrange插值、分段插值、样条插值、曲线拟合等.本问题分三步：1、先决

5、定所给数据点处的水流量。（数据转换即可）2、找一个水从水塔流出的水流量光滑逼近函数3、处理水泵工作时的充水水流量及一天该镇的总用水量下面介绍样条插值理论4、表中的时间数据准确在一秒以内。5、水塔水流量与水泵状态独立，不因水泵工作而增加或减少水流量的大小。6、水塔水流量曲线可以用一条光滑的曲线来逼近。样条插值分段插值存在着一个缺点,就是会导致插值函数在子区间的端点(衔接处)不光滑,即导数不连续,对于一些实际问题,不但要求一阶导数连续,而且要求二阶导数连续。为了满足这些要求,人们引入了样条插值的概念

6、。所谓“样条”(SPLINE)是工程绘图中的一种工具,它是有弹性的细长木条,绘图时,用细木条连接相近的几个结点,然后再进行拼接,连接全部结点,使之成为一条光滑曲线,且在结点处具有连续的曲率。样条函数就是对这样的曲线进行数学模拟得到的。它除了要求给出各个结点处的函数值外,只需提供两个边界点处导数信息,便可满足对光滑性的不同要求。1、样条函数的定义设f(x)是区间[a,b]上的一个连续可微函数,在区间[a,b]上给定一组基点:a=x0

7、在每个子区间[xi,xi+1](i=0,1,2,,n-1)上是次数不超过m的多项式;(2)s(x)在区间[a,b]上有m-1阶连续导数;则称s(x)是定义在[a,b]上的m次样条函数。x0，x1，x2,称为样条结点,其中x1,,xn-1称为内结点,x0,xn称为边界结点。当m=3时,便成为最常用的三次样条函数。设y=f(x)在点x0，x1，x2,xn的值为y0，y1，y2,yn，若函数S(x)满足下列条件S(xi)=f(xi)=yi,i=0,1,2,,n(1.

8、1)则称S(x)为函数f(x)的三次样条插值函数,简称三次样条。2、三次样条插值函数构造三次样条插值函数的方法有很多，这里介绍一个常用的方法：三弯矩插值法记Mi=S″(xi),f(xi)=fi=yi,考虑它在任一区间[xi,xi+1]上的形式.根据三次样条的定义可知,S(x)的二阶导数S″(x)在每一个子区间[xi,xi+1](i=0,1,2,,n-1)上都是线性函数.于是在[xi,xi+1]上S(x)=Si(x)的二阶导数表示成(1.2)其中hi=xi+1–xi.对S″(x)连续积分两次