浅谈高中数学中换元法的应用

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1、浅谈高中数学中换元法的应用【摘要】换元法是高中数学中比较常见也很重要的一种数学方法，灵活地运用换元法对数学问题进行转换，从而使得问题能够迎刃而解。换元法可分为局部换元、均值换元和三角换元等，对换元法的应用的探究是教育发展的很重要的一个方向。【关键词】换元转换解题数学方程1前言在解数学题时，用一个变量代替某个可以看成一个整体的复杂式子，进而使得问题得到了进一步的简化，这就称为换元法。换元法的实质是转化，依据是等量代换，关键是构造元以及设元，目的是变换变量，使得问题简单化，易于处理。事实上，换元法就是引入一个或儿个新变量代替原式中

2、的某些量，然后对新变量求出某种结果，再代回求岀关于原变量的结果。但是，换元法的的难点及关键是如何作出合理又正确的变量代换。教学中必须多用启发式，充分注意学生的分析思维过程，使学生知其然亦知其所以然，逐渐形成解题的技巧及能力。2.换元法的基本特点换元的基本思想就在于引入新变量，从而把零散的条件结合起来，挖掘出隐含的条件，从而有效的将条件与结论相联系，把陌生的条件转换成熟悉的形式，把复杂的计算和证明简单化。换元可以分为几个基本的方法，例如均值换元、局部换元以及三角换元等。2.1均值换元如遇到x+y二2S形式时，设x二S+t,y=S

3、-t等。这是最基本的转换。具体的例题如：已知a,b为非负实数，M=a1+b},a+b=l,求M的最值。可令a二l/2-t,b二l/2+t(0WtWl/2),代入M,化简有：M=2X(t2+3/4)2-l,由二次函数性质知NL„=1/&M环二1.2.2.局部换兀指的是在已知或未知的条件下，某个代数式多次出现，采用的方法就是用某个特定的字母或符号来代替，使得问题得到简单化，或者在复杂的条件下也可以通过变形。2.3三角换元在去根号或转换为三角形式时，运用得比较广泛。方法主要是利用已知代数式里和三角知识里相关系的形式进行换元。如求函数

4、y二JT7的值域时，若x设x=sina,sinae[-1,1],问题变成了熟悉的求三角函数值域。主要的解题思路是发现值域的联系，并有去根号的需要。如变量x、y适合条件x2+y2=r2(r>0)时,则可作三角代换x=rcos9>y=rsin0化为三角问题。3.几种换元法的应用例1己知实数x、y满足x'+y运1求证：{x2+2xy-y2}

5、-y2^V2,从而可以求证。2»22例2：己知a>l,b>l,c>l.求证：上一+上一+—A12.b-1C-l67-1证明：由d>1,b〉1,c>1,可设a—=x,b—l=y,c~l=z,x>0,y>0,z>0•于是a2tb2tc2_(1+兀)2((l+y)2((l+z)2、(2依)2((2&)2((2血)2II—II£IIb-c-la-Iyzxyzx=4(兰+丄+亠4・3上丄亠12yzxyzx例3：己知/+，=4,F+y2=9,求clx+by的最大值。解：由a2+b2=49可设a=2cosa,b=2sina；由F+y2

6、=9,可设兀=3cos0,y=3sin0.于是or+by=6cosacos0+6sinosin0=6cos(cr一0)56又当a-0=2k兀(kwZ)时，上式中等号成立。即ax+hy的最大值是6.一般地，题目中若有条件a2+b2=r2(/^>0),常设a=rcos^z,b=rsina进行三角换元，将问题改变成一个三角函数有关的问题，再利用三角函数知识、方法进行解答，此方法称为三角换元。事实上，对于任意两个实数x,y,在坐标平面上总有惟一的对应点A(x,.y)与之对应，设此点到原点的距离为厂，射线Ox逆时针方向旋转到射线0A时，

7、所转过的最小正角为&,贝U=rcos^,y=sin^o例4求函数P=+届的值域。解&a=yj4-X,b=y[x,贝!j6Z2+/?2=4,6Z>0,b>Q.在平面直角坐标系xoy屮,点M(a,b)是圆弧x2+/=4(x>0,3；>0)±的点，如图所示。P=a+43b=2,所以P表示点M(a,b)到直线Z0:x+V3j=0的距2离的2倍。过点M(a,b)作直线Z0:x+V3y=0的平行线/,则P表示直线厶与/的距离的2倍。设平行直线与/的距离为d・则当/过点AI]寸(直线厶)，〃取最小值1,此时P=2；当/与圆弧相切时(直线厶)

8、，d取最大值2,此时P=4.所以函数P=+辰的值域为[2,4]・a+一此题通过做奸二』=仮的代换，问题转化为两直线距离问题，简明直JT观。当然由/+，=4,tz>0,bnO可设q=2cosq,b=2sina,OSaW—贝！J是2三角换元，也可以解决问题。4.结语在高中数学中，