平面与平面垂直的性质1

《平面与平面垂直的性质1》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、2．3.4平面与平面垂直的性质1．理解平面与平面垂直的性质定理．2．能应用面面垂直的性质定理证明空间中线、面的垂直关系．3．理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的内在联系．在实际生活中，我们常遇到这样的问题：木匠师傅要在墙面上钉木条，怎样才能保证木条与地面垂直呢？我们知道墙与地面是垂直的，设交线为l，这时只需要将木条在墙面上与l垂直，就可以了．这是为什么？通过本节的学习，你将解开这一谜底.面面垂直的性质定理一个平面内交线a⊂αa⊥l线面垂直探究1：由线面垂直的性质定理，知垂直于同一个平面的两条直线平行，试问垂直于同一个平面的两个

2、平面平行吗？提示：可能平行，也可能相交．如图．α与δ平行，α与β相交．探究2：两个平面垂直，其中一个平面内的任一条直线与另一个平面一定垂直吗？提示：不一定．只有垂直于两平面的交线才能垂直于另一个平面.典例P是二面角αlβ内的一点(P∉α，P∉β)，PA⊥α，PB⊥β，且∠APB＝30°，求此二面角的大小．【错解】如图，过点A在α内作AD⊥l交l于点D，连接BD，PD.∵PA⊥α，∴PA⊥l.又∵AD⊥l，∴l⊥平面PAD，∴l⊥PD.又∵PB⊥β，∴PB⊥l，∴l⊥平面PBD，∴l⊥BD，∴∠ADB即为二面角αlβ的平面角，

3、∴∠ADB＝180°－∠APB＝150°，即二面角αlβ的大小为150°.【错因分析】错解中并没有证明P、A、D、B四点共面，故不能得出∠ADB＝180°－∠APB，其原因在于作图方法不好，凭直觉处理问题．【正解】设相交直线PA、PB所确定的平面为γ，γ∩l＝D，连接AD，BD.∵PA⊥α，PB⊥β，l⊂α，l⊂β，∴l⊥PA，l⊥PB.∴l⊥γ.又AD⊂α，BD⊂β，且γ∩l＝D，AD⊂γ，BD⊂γ，∴l⊥AD，l⊥BD.∴∠ADB为二面角αlβ的平面角．由平面几何知识得P、A、D、B四点共圆．∵∠APB＝30°，∴∠AD

4、B＝150°，即二面角αlβ的大小为150°.易错补练已知：α、β、γ是三个不同平面，α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l.求证：l⊥γ.证明：证法一：设α∩γ＝a，β∩γ＝b，在γ内任取一点P，过P在γ内作直线m⊥a，n⊥b，如图．∵α⊥γ，β⊥γ，∴m⊥α，n⊥β，又∵α∩β＝l，∴m⊥l，n⊥l，∴l⊥γ.证法二：如图，α∩γ＝a，β∩γ＝b，在α内作m⊥a，在β内作n⊥b.∵α⊥γ，β⊥γ，∴m⊥γ，n⊥γ，∴m∥n.又∵n⊂β，m⊄β∴m∥β，又α∩β＝l，m⊂α，∴m∥l，∴l⊥γ.证法三：在l上任取一点P，α∩γ＝a，β

5、∩γ＝b，在α内作PQ⊥a于Q，在β内作PM⊥b于M.∵α⊥γ，β⊥γ，∴PQ⊥γ，PM⊥γ，由过一点有且只有一条直线与平面垂直，∴PQ与PM重合．又PQ⊂α，PM⊂β，∴PQ、PM就是直线l.∴l⊥γ.1．直线与直线垂直的判断方法(1)用定义：如果两条直线所成的角是直角，那么这两条直线垂直．(2)用平行的性质：两条平行线中的一条垂直于第三条直线，那么另一条也垂直于这条直线．(3)用线面垂直的性质：一条直线垂直于一个平面．那么这条直线垂直于这个平面内的任意直线．(4)用平面几何的知识：等腰三角形底边上的中线或顶角平分线垂直于

6、底边；矩形的邻边垂直；菱形的对角线垂直等等．2．直线与平面垂直的判断方法(1)用线面垂直定义：如果一条直线垂直于一个平面内任一直线，这条直线垂直于该平面．(2)用线面垂直判定定理：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与平面垂直．(3)用线面垂直性质：如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，则另一条直线也必垂直于这个平面．(4)用面面垂直性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面．(5)用面面平行性质：如果一条直线垂直于两个平行平面的一个平面，那么这条直线必垂直于

7、另一个平面．(6)用面面垂直性质：如果两个相交平面同时垂直于第三个平面，那么这两个相交平面的交线必垂直于第三个平面．这六种判定线面垂直的方法的实质是转化与化归数学思想的体现，它们是线线、线面、面面垂直的相互转化．3．平面与平面垂直的判断方法(1)用定义：证明这两个平面所成的二面角是直二面角．(2)用判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．(3)用面面平行的性质：两个平行平面中的一个平面垂直于第三个平面，则另一个平面也垂直于第三个平面．1．平面α⊥平面β，直线l⊂α，直线m⊂β，则直线l，m的位

8、置关系是()A．相交B．平行C．异面D．以上都有可能解析：根据题意，l，m可能相交、平行或异面．答案：D2．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是()A．AB∥mB．AC⊥mC．AB∥βD．AC