2019-2020学年人教A版高中数学选修2-2培优阶段质量检测(三)Word版含解析

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1、2019-2020学年数学选修2-2课时跟踪检测（三）几个常用函数的导数、基本初等函数的导数公式及导数的运算法则一、题组对点训练对点练一利用导数公式求函数的导数1．给出下列结论：ππ11－1①(cosx)′＝sinx；②sin′＝；③若y＝，则y′＝－；④′3cos3x2xx1＝.2xx其中正确的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：选Bπ33因为(cosx)′＝－sinx，所以①错误．sin＝2，而′＝0，32110－x2′－2x－210－x′，所以③错误.－2所以②错误.′＝＝＝x′＝－x＝x2x4x4x3112x－1312＝x－＝，所以④正确．x222xx12．已知f(x)＝xα(α∈

2、Q*)，若f′(1)＝，则α等于()41111A．B．C．D．3284解析：选D∵f(x)＝xα，∴f′(x)＝αxα－1.1∴f′(1)＝α＝.4对点练二利用导数的运算法则求导数3．函数y＝sinx·cosx的导数是()A．y′＝cos2x＋sin2xB．y′＝cos2x－sin2xC．y′＝2cosx·sinxD．y′＝cosx·sinx解析：选By′＝(sinx·cosx)′＝cosx·cosx＋sinx·(－sinx)＝cos2x－sin2x.x24．函数y＝的导数为________．x＋3x2′＋3－x2x＋3′2xx＋3－x2x2＋6xx2x解析：y′＝′＝＝＝.x＋3x＋32x＋

3、32x＋32x2＋6x答案：x＋325．已知函数f(x)＝axlnx，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数．若f′(1)＝3，则a的值为________．1解析：f′(x)＝alnx＋x·＝a(1＋lnx)．由于f′(1)＝a(1＋ln1)＝a，又f′(1)＝3，x所以a＝3.答案：36．求下列函数的导数．ex(1)y＝sinx－2x2；(2)y＝cosx·lnx；(3)y＝.sinx解：(1)y′＝(sinx－2x2)′＝(sinx)′－(2x2)′＝cosx－4x.cosx(2)y′＝(cosx·lnx)′＝(cosx)′·lnx＋cosx·(lnx)′＝－sinx

4、·lnx＋.x(3)y′＝exex′·sinx－ex·sinx′ex·sinx－ex·cosx′＝＝＝sinxsin2xsin2xexsinx－cosx.sin2x对点练三利用导数公式研究曲线的切线问题7．(2019·全国卷)Ⅰ曲线y＝3(x2＋x)ex在点(0,0)处的切线方程为________．解析：∵y′＝3(2x＋1)ex＋3(x2＋x)ex＝ex(3x2＋9x＋3)，∴切线斜率k＝e0×3＝3，∴切线方程为y＝3x.答案：y＝3xπ8．若曲线f(x)＝x·sinx＋1在x＝处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂直，2则实数a＝________.ππππ解析：因为f′(x)＝sinx＋

5、xcosx，所以f′＝sin＋cos＝1.又直线ax2222aa＋2y＋1＝0的斜率为－，所以根据题意得1×－＝－1，解得a＝2.22答案：29．已知a∈R，设函数f(x)＝ax－lnx的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为________．1解析：因为f′(x)＝a－，所以f′(1)＝a－1，又f(1)＝a，所以切线l的方程为yx－a＝(a－1)(x－1)，令x＝0，得y＝1.答案：110．在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋13上，且在第一象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，求点P的坐标．解：设点P的坐标为(x0，y0)，因为y′＝3x2

6、－10，所以3x20－10＝2，解得x0＝±2.又点P在第一象限内，所以x0＝2，又点P在曲线C上，所以y0＝23－10×2＋13＝1，所以点P的坐标为(2,1)．二、综合过关训练1．f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，⋯，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2019(x)＝()A．sinxB．－sinxC．cosxD．－cosx解析：选D因为f1(x)＝(sinx)′＝cosx，f2(x)＝(cosx)′＝－sinx，f3(x)＝(－sinx)′＝－cosx，f4(x)＝(－cosx)′＝sinx，f5(x)＝(sinx)′＝cosx

7、，所以循环周期为4，因此f2019(x)＝f3(x)＝－cosx.2．已知曲线y＝x21－3lnx的一条切线的斜率为，则切点的横坐标为()42A．3B．2C．11D．2解析：选Ax3x31因为y′＝－，所以根据导数的几何意义可知，－＝，解得2x2x2x＝3(x＝－2不合题意，舍去)．sinx1π3．曲线y＝sinx＋cosx－在点M，0处的切线的斜率为()2411C．－22A．－B．D．2222解