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1、从错解现象中探究数学本质［案例背景］在圆锥曲线的教学中，经常会涉及到这样的问题「以已知点为中点的直线交已知圆锥曲线于两点，求该直线的方程”・这类问题我们经常称其为坤点弦”问题•解决的方法多采用先设两个交点的坐标，再将两坐标代入圆锥曲线方程，然后将这两个方程相减，再利用中点坐标公式和斜率公式求出所求直线的斜率，从而利用点斜式求出直线方程.这就是我们中学老师自己命名的“点差法”•别外韦达定理也是圆锥曲线中经常使用的方法，学生比较喜欢，用的也比较熟练•但在使用的过程中学生往往会碰到一些不可思议，似是而非的问题，而这些问题恰恰反映了学生没有很好地抓住数学的本质，所以在
2、求解时才会出现这样或那样的错误.作者在以自主学习为前提，以探究建构为目的，设计了一个错解评析过程，意在强调抓住数学本质的重要性.［案例过程］问题1:(课本习题)已知双曲线，过点P(1,1)能否作一条直线，与双曲线交于A,B两点，且点P是线段AB的中点？展示学生的错解：设A(x1,y1)B(x2,y2),代入双曲线方程，得…⑴...(2),由(1)-(2)得,由题意得代入上式得直线AB的斜率为2,所以直线存在且方程为y=2x-1.错解原因分析及解决策略：(1)数形结合:让学生画出已知双曲线和求得直线的图象,观察直线与双曲线的位置关系,很容易发现所求的直线根本不与
3、双曲线相交.(2)本质分析:让学生思考在上面的解题过程中到底忽略了哪个最本质的数学条件？(直线与双曲线交于A,B两点).这个题的本质就是考直线与双曲线相交的条件，而题中的中点信息使得学生更青睐于点差法，而在解的过程中很容易忽略了直线与双曲线相交的本质特征.(3)抓住本质:让学生思考怎样完善解题过程？(将所求的直线与双曲线联列成方程组，利用消元得到关于X的一元二次方程，利用判别式可得方程无解，因此这样的直线不存在).如果在解题过程中始终抓住直线与双曲线相交的本质特征,那么也可以选择以下的通法通解•而且高考中对通法通解更加重视.(4)通法通解:根据题意可得若直线存
4、在,则它的斜率存在,设所求直线为:y=k(x-1),将直线方程与双曲线方程联列成方程组，消去y得由题意得即且且k=2,显然同时满足上面条件的k不存在•所以这样的直线不存在.问题2已知抛物线的焦点F恰好是椭圆的左焦点，且两曲线的公共点的连线过F,则该椭圆的离心率为多少？展示学生的错解:已知抛物线的焦点，椭圆的左焦点为F1(-c,0),由题意得F恰好是在F1,所以，因此p=2c,将抛物线方程与椭圆方程联列成方程组，消去y得-----(1),设两交点为A(x1,y1)B(x2,y2),根据图象得两交点关于x轴对称，又交点连线经过F,所以x1=x2=0,显然这两者相互
5、矛盾•于是学生认为题意有错.错解辨析，正本清源(1)数形结合:观察图形已知抛物线与椭圆的交点,交点能反映方程(1)的根有几个？(只有1个)那么当方程(1)满足什么条件时，它的根只有一解.(2)本质分析:一元二次方程根的个数的判断常用判别式,而判别式所得是在实数集中的根的个数，那么这个题中根有什么要求？(方程(1)要求有且只有一个负根)(3)抓住本质:根据韦达定理，可得方程(1)有一负根和一正根,由于交点在第二和第三象限，所以正根应舍去，从而方程只有一解，应此题意中并没有矛盾■事实上直接利用x1=代入方程(1)即可得关于a,b,c,P的一个关系式，又p=2c,，
6、化简得，所以，又，所以・教学反思：通过这次错解评析，学生意识到自己在这些问题中的错解成因，以及研究这些问题的方法，并加强了对数学本质的认识•使学生的观察力、综合运用知识的能力、思维素质得到了充分的展示和锻炼。新课程要求在数学教学中，不仅是学习形式化的表达，更要强调对数学本质的认识，否则会将生动活泼的数学思维活动淹没在形式化的海洋里•要求学生能挖掘问题的背景特征,透过一些数学现象看到本质•学生若能抓住问题的实质，就能产生意想不到的感悟。当前的高考已经从勿识立意”那能力立意”转化，思维品质和综合素养的考察正是高考的真正目的。如果在课堂内外能真正把握数学的本质，返璞
7、归真，把数学思想落到实处，那就可以最大限度地促进学生的发展.本文为全文原貌未安装PDF浏览器用户请先下载安装原版全文
