命题演算(推理理论)

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1、1第四讲命题逻辑的推理理论命题逻辑的推理理论也称为命题演算主要内容一、推理的形式结构二、推理定律和推理规则三、逻辑证明方法2数理逻辑的推理理论主要研究推理的“思维过程”，为推理提供一定的推理规则。它只关心从前提得到结论这种推理的正确有效性。无论前提是否真得正确，它总是假设其是成立的。所以推理的正确性和结论的正确性可能是不一致的。推理理论在应用上常常是将一些定理，定律，公理和条件作为前提，通过推理得到新的定理。引言3一、推理的形式结构定义1设A1,A2,…,Ak,B为命题公式.若对于每组赋值，A1A2…Ak为假，或当A1A2…Ak为真时，B也为真，则

2、称由前提A1,A2,…,Ak推出结论B的推理是有效的或正确的,并称B是有效结论或称B可由A1,A2,…,Ak逻辑推出.定理1由命题公式A1,A2,…,Ak推B的推理正确当且仅当A1A2…AkB为重言式4推理的形式结构2.A1A2…AkB若推理正确,记为A1A2…AkB3.前提：A1,A2,…,Ak结论：B推理的形式结构1.{A1,A2,…,Ak}B若推理正确,记为{A1,A2,,An}B5二、推理定律——重言蕴涵式1.A(AB)附加律2.(AB)A化简律3.(AB)AB假言推理4.(AB)BA拒取式5.(AB

3、)BA析取三段论6.(AB)(BC)(AC)假言三段论7.(AB)(BC)(AC)等价三段论8.(AB)(CD)(AC)(BD)构造性二难(AB)(AB)B构造性二难(特殊形式)9.(AB)(CD)(BD)(AC)破坏性二难每个等值式可产生两个推理定律如,由AA可产生AA和AA6推理规则(1)前提引入规则(P)在推理过程中，可以随时引入已知的前提。(2)结论引入规则(T)在推理过程中，前面已推出的有效结论都可作为后续推理的前提引用。(3)置换规则(R)在推理过程中，命题公

4、式中的子公式都可以用与之等值的命题公式置换，得到证明的公式序列的另一公式。(4)代入规则(S)在推理过程中，重言式中的任一命题变元都可以用一命题公式代入，得到的仍是重言式。7推理规则(4)假言推理规则(6)化简规则(8)假言三段论规则ABA∴BA∴ABAB∴A(5)附加规则(7)拒取式规则(9)析取三段论规则ABB∴AABBC∴ACABB∴A8推理规则(10)构造性二难推理规则(12)合取引入规则ABCDAC∴BDABCDBD∴ACAB∴AB(11)破坏性二难推理规则9三、逻辑证明方法判断有效结论的过程就是论证过

5、程。基本方法：（1）真值表法（2）直接证明法（3）间接证明法（反证法）具体：等值演算、主析取范式、构造证明法等10例：判断下列推理是否正确。今天杨尚树或去网吧或去教室。他没去教室，所以他去网吧了。设p：杨尚树去网吧。q：杨尚树去教室。则，前提：p∨q,¬q结论：p推理的形式结构：((p∨q)∧¬q)p真值表法11pqp∨q¬q(p∨q)∧¬q((p∨q)∧¬q)p000101011001101111111001真值表法该命题公式为重言式，说明推理正确，所以杨尚树去网吧((p∨q)∧¬q)p12推理实例例1判断下面推理是否正确(1)若今天是1号，则明天是5

6、号.今天是1号.所以,明天是5号.(2)若今天是1号，则明天是5号.明天是5号.所以,今天是1号.解设p：今天是1号，q：明天是5号.(1)推理的形式结构:(pq)pq用等值演算法(pq)pq((pq)p)qpqq1由定理1可知推理正确13推理实例(2)推理的形式结构:(pq)qp用主析取范式法(pq)qp(pq)qp((pq)q)pqp(pq)(pq)(pq)(pq)m0m2m3结果不含m1,故01是成假赋值，所以推理不正确14例2构造下面推理的证明：若

7、明天是星期一或星期三，我明天就有课.若我明天有课，今天必备课.我今天没备课.所以，明天不是星期一、也不是星期三.解(1)设命题并符号化设p：明天是星期一，q：明天是星期三，r：我明天有课，s：我今天备课(2)写出证明的形式结构前提：(pq)r,rs,s结论：pq15直接证明法(2)写出证明的形式结构前提：(pq)r,rs,s结论：pq(3)证明（证明过程三列式）序号当前得到的结论当前得到结论的理由①rsP(前提引入)②sP③rT①②I(拒取式)④(pq)rP⑤(pq)T③④E(拒取式)⑥pqT⑤E德摩根率16附加

8、前提证明法附加前提证明法适用于结论为蕴