（浙江专用）2020版高考数学大一轮复习 课时14 3.3 导数与函数极值和最值教师备用题库

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1、3.3导数与函数极值和最值教师专用真题精编1.(2018江苏,11,5分)若函数f(x)=2x3-ax2+1(a∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零点,则f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值的和为　　　　. 答案　-3解析　本题考查利用导数研究函数的极值和最值.∵f(x)=2x3-ax2+1,∴f'(x)=6x2-2ax=2x(3x-a).若a≤0,则x>0时,f'(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)上为增函数,又f(0)=1,∴f(x)在(0,+∞)上没有零点,∴a>0.当0

2、为减函数;当x>a3时,f'(x)>0,f(x)为增函数,∴x>0时,f(x)有极小值,为fa3=-a327+1.∵f(x)在(0,+∞)内有且只有一个零点,∴fa3=0,∴a=3.∴f(x)=2x3-3x2+1,则f'(x)=6x(x-1).令f'(x)=0,得x=0或x=1.x-1(-1,0)0(0,1)1f'(x)+-f(x)-4增1减0∴f(x)在[-1,1]上的最大值为1,最小值为-4.∴最大值与最小值的和为-3.2.(2018课标全国Ⅲ,21,12分)已知函数f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)-2x

3、.(1)若a=0,证明:当-10时,f(x)>0;(2)若x=0是f(x)的极大值点,求a.解析　本题考查导数与函数的单调性、导数与函数的极值.(1)当a=0时,f(x)=(2+x)ln(1+x)-2x,f'(x)=ln(1+x)-x1+x.设函数g(x)=f'(x)=ln(1+x)-x1+x,则g'(x)=x(1+x)2.当-10时,g'(x)>0.故当x>-1时,g(x)≥g(0)=0,且仅当x=0时,g(x)=0,从而f'(x)≥0,且仅当x=0时

4、,f'(x)=0.所以f(x)在(-1,+∞)单调递增.又f(0)=0,故当-10时,f(x)>0.(2)(i)若a≥0,由(1)知,当x>0时,f(x)≥(2+x)ln(1+x)-2x>0=f(0),这与x=0是f(x)的极大值点矛盾.(ii)若a<0,设函数h(x)=f(x)2+x+ax2=ln(1+x)-2x2+x+ax2.由于当

5、x

6、

7、a

8、时,2+x+ax2>0,故h(x)与f(x)符号相同.又h(0)=f(0)=0,故x=0是f(x)的极大值点当且仅当x=0是h(

9、x)的极大值点.h'(x)=11+x-2(2+x+ax2)-2x(1+2ax)(2+x+ax2)2=x2(a2x2+4ax+6a+1)(x+1)(ax2+x+2)2.如果6a+1>0,则当0

10、x

11、

12、a

13、时,h'(x)>0,故x=0不是h(x)的极大值点.如果6a+1<0,则a2x2+4ax+6a+1=0存在根x1<0,故当x∈(x1,0),且

14、x

15、

16、a

17、时,h'(x)<0,所以x=0不是h(x)的极大值点.如果6a+1=0,则h'(x)=x3(x-24)(x+1)(x

18、2-6x-12)2.则当x∈(-1,0)时,h'(x)>0;当x∈(0,1)时,h'(x)<0.所以x=0是h(x)的极大值点,从而x=0是f(x)的极大值点.综上,a=-16.3.(2018北京,18,13分)设函数f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]ex.(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行,求a;(2)若f(x)在x=2处取得极小值,求a的取值范围.解析　(1)因为f(x)=[ax2-(4a+1)x+4a+3]ex,所以f'(x)=[ax2-(2a+1)x+2]ex.f'(1)

19、=(1-a)e.由题设知f'(1)=0,即(1-a)e=0,解得a=1.此时f(1)=3e≠0.所以a的值为1.(2)由(1)得f'(x)=[ax2-(2a+1)x+2]ex=(ax-1)(x-2)ex.若a>12,则当x∈1a,2时,f'(x)<0;当x∈(2,+∞)时,f'(x)>0.所以f(x)在x=2处取得极小值0.若a≤12,则当x∈(0,2)时,x-2<0,ax-1≤12x-1<0,所以f'(x)>0,所以2不是f(x)的极小值点.综上可知,a的取值范围是12,+∞.