根轨迹_有关于分离角（汇合角）的证明

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1、第四章根轨迹法闭环系统的稳定性和性能指标主要由闭环系统的极点在复平面的位置决定，因此，分析或设计系统时确定出系统闭环极点的位置是十分有意义的。1948年，伊文斯(W.R.Evans)提出了根轨迹法，这种方法是根据系统的开、闭环传递函数之间的关系，根据一些准则，直接由开环传递函数的零、极点求出闭环极点（闭环特征根）。4.1根轨迹的基本概念根轨迹：是指系统开环传递函数中某个参数(如开环增益K)从零变到无穷时，闭环特征根在s平面上移动所画出的轨迹。常规根轨迹：当变化的参数为开环增益时所对应的根轨迹。广义根轨迹：当变化的参数为开环传递函数中其它参数时

2、所对应的根轨迹。一、根轨迹的定义系统的传递函数其闭环传递函数则闭环特征方程为解之，得闭环特征根表达式为K00.51.02.5…+s10-1-1+j1-1+j2…-1+js2-2-1-1-j1-1-j2…-1-j取K为不同值代入s1,2表达式，得二、根轨迹与系统的性能稳定性：只要K>0，则根轨迹在s平面的左半平面，因此，系统是稳定的。稳态性能：有一个开环极点在坐标原点处，所以该系统是I型系统，则K为静态速度误差系数。动态性能：①当0

3、时，二阶系统处于临界阻尼状态，单位阶跃响应也为非周期过程。③当K>0.5时，系统具有一对共轭复数极点，处于欠阻尼状态，单位阶跃响应为具有阻尼的振荡过程。三、根轨迹方程1.开、闭环传递函数的零、极点表达式控制系统的结构图其闭环传递函数式中G(s)H(s)为系统的开环传递函数。将开环传递函数用其分子、分母多项式方程根的因式来表示，得开环传递函数pi为分母多项式方程的根，称作开环传递函数的极点。zj为分子多项式方程的根，称作开环传递函数的零点。K*称作根轨迹增益。开环传递函数的零、极点表达式闭环传递函数式中：si为闭环传递函数的极点，亦即闭环特征根

4、。zj闭环传递函数的零点。K*称作闭环根轨迹增益。闭环传递函数的零、极点表达式2.根轨迹方程根轨迹是所有闭环特征根的集合。闭环系统的特征方程为1+G(s)H(s)=0G(s)H(s)=-1或写成上式就是根轨迹方程。模值方程：相角方程：看出：模值方程与K*有关，而相角方程与K*无关。因此，相角方程是决定闭环根轨迹的充分必要条件，而模值方程是用来确定根轨迹上各点对应的K*值。4.2绘制根轨迹图的基本法则法则1根轨迹的分支数：n阶系统根轨迹有n条分支。法则2根轨迹的对称性：根轨迹是关于实轴对称的。法则3根轨迹的起点、终点：根轨迹起于开环极点pi

5、，终止于开环零点zj(m条)，或趋于无穷远点(n-m条)。证明：由根轨迹方程，得令K*=0，得故令，得当，设，则法则4根轨迹在实轴上的分布：实轴上根轨迹区段右侧的开环零点与开环极点数目之和为奇数。相反，如果右侧(实)零点与(实)极点数目之和为偶数，则试探点si所在区段不属于根轨迹。证明：根据相角方程法则5根轨迹的渐近线：当n>m时，将有(n-m)条根轨迹沿渐近线趋于无穷远处，其渐近线与实轴正方向的夹角为，与实轴交点坐标为。常见n-m＝1,2,3,4时渐近线的图像:观察发现：渐近线条数为(n-m)条，而这些渐近线将s平面以为中心进行等分，几个渐

6、近线之间的夹角为，这样只要求出某一条渐近线与实轴的夹角，就很容易求出其它渐近线的位置。法则6根轨迹的分离点(或会合点)坐标sd：两条或两条以上根轨迹在s平面上相遇后又立即分开的点，称为分离点。分离点满足方程：根轨迹起始于开环极点，而终于开环零点。一般情况下，如果实轴上两相邻极点之间的线段属于根轨迹，那么这两个极点之间至少存在一个分离点；根轨迹位于实轴上两相邻开环零点之间(或其中一个零点是无穷远零点)，则两零点之间也至少存在一个分离点。首先判断是否有分离点，然后确定分离点可能处的大概位置：实轴上以共轭形式出现在复平面上一般是指位于实轴上的两条根

7、轨迹的分离点。注意：开环零、极点位置的变化影响根轨迹的形状，要仔细把握。属于根轨迹区段上的点，才是分离点，否则舍掉。证明：系统的闭环特征方程根轨迹有分离点，说明闭环特征方程有重根。因此，将上面两式相除，整理得法则7根轨迹的分离角(与会合角)：分离角是指根轨迹离开分离点处的切线与实轴正方向的夹角。会合角是指根轨迹进入会合点处的切线与实轴正方向的夹角。实轴上分离点的分离角为；实轴上会合点的会合角为。分离角计算公式：式中，sd－分离点坐标zj－原系统的开环零点si－K=Kd时除l个重极点外，其它(n-l)个原系统的闭环极点，即新系统的开环极点l－分

8、离点处根轨迹的分支数会合角计算公式：式中，sd－分离点坐标pi－原系统的开环极点si－新系统时除l个重极点外，其它(n-l)个开环极点(原系统的闭环极点)l－分离点