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《与圆有关的比例线段(切割线定理)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．推论１：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，相等的圆周角所对的弧也相等．推论２：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；反之，９０°的圆周角所对的弦是直径．复习回顾——相交弦、切割线、切线长定理五与圆有关的比例线段一、下面我们首先沿用从特殊到一般的思路,讨论与圆有关的相交弦的问题.探究1:如图1,AB是⊙O的直径,CD⊥AB,AB与CD相交于P,线段PA、PB、PC、PD之间有什么关系？OBDACP图1证明:连
2、接AD、BC.则由圆周角定理的推论可得:∠A＝∠C.∴Rt△APD∽Rt△CPB.探究2:将图１中的AB向上（或向下）平移,使AB不再是直径（如图２），结论（１）还成立吗？OBDACP图２OBDACP图１PA·PB=PC·PD……(1)证明:连接AD、BC.则由圆周角定理的推论可得:∠A＝∠C.∴Rt△APD∽Rt△CPB.OBDACP图１PA·PB=PC·PD……(1)证明:连接AD、BC.则由圆周角定理的推论可得:∠A＝∠C.∴△APD∽△CPB.探究3:上面讨论了CD⊥AB的情形．进一步地,如果CD与AB不垂直，如图３,AB、CD是圆内的任意两条相交弦,结论（
3、１）还成立吗？OBDACP图３OBDACP图２PA·PB=PC·PD……(2)PA·PB=PC·PD……(3)综上所述，不论AB、CD具有什么样的位置，都有结论（１）成立！相交弦定理：圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等.OBDACP几何语言：AB、CD是圆内的任意两条相交弦,交点为P,∴PA•PB=PC•PD.上面通过考察相交弦交角变化中有关线段的关系，得出相交弦定理.下面从新的角度考察与圆有关的比例线段．探究4:使圆的两条弦的交点从圆内（图３）运动到圆上（图４），再到圆外（图５），结论(1)还成立吗？OBDACP图3OBA(C,P)D图4OBDACP
4、图5当点P在圆上,PA=PC=0,所以PA•PB=PC•PD=0仍成立.当点P在圆外,连接AD、BC,容易证明:△PAD∽△PCB,所以PA:PC=PD:PB,即PA•PB=PC•PD仍成立.如图,已知点P为⊙O外一点,割线PBA、PDC分别交⊙O于A、B和C、D.求证:PA∙PB=PC∙PD.证法2：连接AC、BD，∵四边形ABDC为⊙O的内接四边形,∴∠PDB=∠A，又∠P=∠P,∴△PBD∽△PCA.∴PD：PA=PB：PC.∴PA∙PB=PC∙PD.割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每一条割线与圆的交点的两条线段长的乘积相等.应用格式（几何语言描述
5、）:∵PAB,PCD是⊙O的割线,∴PA∙PB=PC∙PD.OCPADB点P从圆内移动到圆外PA∙PB=PC∙PDOBDACP图3PA∙PB=PC∙PD图5OCPADBOA(B)PCD使割线PA绕P点运动到切线的位置，是否还有PA∙PB=PC∙PD？证明:连接AC、AD,同样可以证明△PAD∽△PCA,所以PA:PC=PD:PA,即PA2=PC•PD仍成立.如图,已知点P为⊙O外一点，PA切⊙O于点A，割线PCD交⊙O于C、D.求证：PA2=PC∙PD.证明：连接AC、AD，∵PA切⊙O于点A,∴∠D=∠PAC.又∠P=∠P,∴△PAC∽△PDA.∴PA：PD=PC
6、：PA.∴PA2=PC∙PD.切割线定理:从圆外一点引圆的切线和条割线,切线长是这点到割线与圆的交点的两条线段长的比例中项.应用格式（几何语言描述）:∵PA是⊙O的切线,PCD是⊙O的割线,∴PA²=PC∙PD.ODPCA探究5:使圆的割线PD绕点P运动到切线位置，可以得出什么结论？点P从圆内移动到圆外.相交弦定理PA∙PB=PC∙PDOBDACP图3割线定理PA∙PB=PC∙PD图5OCPADB使割线PA绕P点运动到切线的位置.OA(B)PCD切割线定理PA2=PC•PD使割线PC绕P点也运动到切线的位置.切线长定理PA=PC,∠APO=∠CPOOA(B)PC(D
7、)思考：从这几个定理的结论里大家能发现什么共同点？1.结论都为乘积式;2.几条线段都是从同一点出发;3.都是通过三角形相似来证明（都隐含着三角形相似）.PC切⊙O于点C=>PA∙PB=PC²切割线定理OBPCA割线PCD、PAB交⊙O于点C、D和A、B=>PA∙PB=PC∙PD割线定理OBCADPAB交CD于点P=>PA∙PB=PC∙PD相交弦定理OBPCADPA、PC分别切⊙O于点A、C=>PA=PC,∠APO=∠CPO切线长定理OA(B)PC(D)另外，从全等角度可以得到：2.联系直角三角形中的射影定理，你还能想到什么？ADCBC′O说明了“射影定理”是“相
