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1、第四章动态模型前面几章中的宏观经济模型都是静态模型，它们主要说明了模型中的内生变量在均衡时的状态，而没冇说明这些内生变量是通过怎样的时间路径达到这种状态的。动态模型则要说明内牛变量达到均衡状态的动态过程，更重要、更基本的是要分析模型屮的内牛变量趋向均衡状态的条件，即均衡的稳定性条件。本章首先对宏观经济分析中常用各类微分方程作一简短的介绍，璽点是线性常系数微分方程及其稳定性，说明更复杂的非线性的模型如何被简单的线性模型模拟出来，并提出非线性模型的局部稳定的概念。本章内容是介绍第五至第九章的必要前提。笫五章分析工资和价格预期调整的动态过程，以及这种调整过程如何
2、影响货币供应量的变化。第六章研究货币供应的扩张速度的变化以及这种变化如何影响利率水平和实际的与预期的通货膨胀率。第七章通过考察失业流量建立失业流量建立失业率动态模型，然后研究产量变动与通货膨胀率变动之间的相互关系。笫八章研究投资如何改变劳动者人均资本，并解决最优资本积累问题。第九章研究汇率变动以及这种变动与货币供给利价格变动Z间的关系。木章第一节介绍线性常系数微分方程的基木性质，第二节阐述非线性模型如何用线性模型模拟出來，并推导出非线性模型的局部均衡条件，第三、第四分别把动态分析运用到第二章笫四节中的古典财富效应模型和第三章第二节中的IS-LM模型中去。第
3、一节常系数线性体系动态经济分析大多数是围绕各种常系数齐次线性微分方程式体系展开的，这种体系的形式是：X=AX(4—1)X是内生变量的nX1向量，A是nXn常系数矩阵，X是内生变量对时间的一阶导数所组成的向量。对上述方程组提供一个“试验性”的解：X(t)=heAr(4-2)b为待定的常数向量(nXl),入是一个标量(可能是复数)。对上述“试验性”解求一阶导数并代入式(41),可得：AheAl=Abe(4—3)因入为一标量的而b为向量，式(4・3)可改写为：(4-4)(4-5)(4-6)AlbeAt=AbeAtI为nXn恒等矩阵。重新整理后可得：[A1—A]b
4、eM=OMeM为标量，该方程组乂可改写为：[XI—A]b=Ob为待足的nXl向量，入为待定的标量。上述方程组总是具有平凡解b三0,然而由此导致的微分方程组的解，X(t)三0,0Wts,也是平凡的。对应于非零向量b(bHO)的非平凡解依存于-•套有限的X值。向量b为矩阵MI—A]的各行提供了权数。为了找到使矩阵中各行的加权和为零的权数(6的值)，入I—A屮的各行不必全是线性独立的。因此矩阵XI-A必须是非满秩的，以便行列式IXI—A
5、=0o这样，为了求得非平凡向量b,就要解出特征方程IXI—A
6、=0中的入，X被称为A的特征根。对于每个特征根入，都能得到使下式
7、成立的6值。X(f)=be(4-7)式(4-7)就是微分方程组X=4X的解。一般说来，一个nXn矩阵A,将会有n个入值能满足特征方程，因此，将会有n个行■如b(k)eAkt(k=l,...,n)的解，都能满足微分方程组X=AX。常系数线性体系具有如卜•性质，即如果X(t)=yi(t)和X(t)=y2(t)都是X=4X的解，那么X(t)=aiyi(t)+a2『2(t)也是X=AX的解，ai和a2为任意常数。因此，X=AX的最一般的解具有以下形式：X=axbA,/+.••+anb(n)eA,,/(4-8)这里，务为任意常数，入k是特征根，bk是对应特征根的特征
8、向量，即满足等式[入I—A]b(k)=0的向量。有的特征根可能是复数，它们经常表现为下述对偶的形式：久*=&
9、+丿&2入k+=&、-j&2(4-9)eI和^2为实数而丿三、^一1。具冇这样两个特征根的微分方程组的解具冇下述形式：X(7)=akb(k)e3}tcos021+。人+山“+门异"sin021(4-10)只要0><(),这个解引起阻尼震荡。有的特征根可能出现不止--次，例如，假设有以下形式的特征方程：(入+1)2=0(4-11)则有X
10、=X2=-1o―般来说，一个特征根垂复出现m次，与这些根(1,1+1,...,1+m)相对应的解的形式为：X(0
11、=/⑴/"+al+lb(i+i)teA,t+at^2bu+2}t2e+...+aeA,1(4-11)在这种解中，当t-g时，指数项总是支配着严项，所以对每个I值，1=1,…，m,lim/,.只要xt<0,则/T代+沧
12、=0一，特征方程的解特征方程可以写成如下形式：(4-13)#0(_2)"+01(-Q)"」+…+伙…，-0“_1久+0”=0Bi是矩阵A的阶迹，这些阶迹被定义为:Po=lPi=an+a22+...+ann=tr(A)a11JJkjjkkk••JJkjaUajkakkaIkam(4-14)上述方程(4-13)也能被写成等价形式：*-01才'+0
13、22"2-…+(-1)10—12+(-1)"0”=0(4-15)显
