辽宁省实验中学2017-2018学年高二数学下学期期中试题 理

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1、辽宁省实验中学2017-2018学年度下学期期中阶段测试高二理科数学科试卷考试时间：120分钟满分：150分第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列说法正确的是（　　）Ａ．若，则是函数的极值.Ｂ．若是函数的极值，则在处有导数.Ｃ．函数至多有一个极大值和一个极小值.Ｄ．定义在上的可导函数，若方程无实数解，则无极值.2.用反证法证明命题“，如果可被整除，那么，至少有个能被整除．”则假设的内容是（　　）Ａ．，都能被整除Ｂ．，都不能被整除Ｃ．不能被整除Ｄ．，有1个不能被整除3.设是函数的导函数，的图象如图

2、所示，则的图象最有可能的是（　　）4.下列计算错误的是（　　）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．5.如右图，用6种不同的颜色把图中A、B、C、D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有(　　)A．400种B．460种C．480种D．496种6.已知两条曲线与在点处的切线平行，则的值为（　　）Ａ．0Ｂ．Ｃ．０或Ｄ．0或17.定义的运算分别对应下图中的（1），（2），（3），（4），那么，图中，可能是下列（　　）的运算的结果（）Ａ．，Ｂ．，Ｃ．，Ｄ．，8.函数的图象关于原点对称，则在上（　　）Ａ．单调递增Ｂ．单调递减Ｃ．单调递增，单调递减Ｄ．单调递减，单调递增9.某校高一开设4门选修

3、课，有4名同学，每人只选一门，恰有2门课程没有同学选修，不同选课方案共有（）．A．84种B．168种C．42种D．336种10.在数学解题中，常会碰到形如“”的结构，这时可类比某公式．如：设a，b是非零实数，且满足＝tan，则＝(　　)A．4B．C．2D．11.定义在R上的奇函数满足，且不等式在上恒成立，则函数的零点个数为（）A.5B.3C.4D.212.已知函数的图象在点处的切线方程为，若函数满足（其中为函数的定义域），当时，恒成立，则称为函数的“分界点”．已知函数满足，，则函数的“分界点”的个数为（）A．个B．个C．个D．无数个第Ⅱ卷(非选择题满分90分)二、填空题：本题共4

4、小题，每小题5分，共20分。把答案填写在答题纸相应位置上。13.由与直线所围成图形的面积为．14.已知函数（＞0）若对任意两个不相等的正实数、都有＞2恒成立，则的取值范围是.15.若一个五位数abcde满足a＜b，b＞c＞d，d＜e且a＞d，b＞e（如37201,45412）则称这个五位数符合正弦规律，那么符合正弦规律的五位自然数有个.16.已知为自然对数的底数，若函数满足,,使成立,则正整数的最大值为.三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题满分10分)若不等式对所有的都成立，求实数的取值范围.18.(本小题满分12分)在数列

5、中，，且前项的算术平均数等于第项的倍（）．（1）写出此数列的前5项；（2）归纳猜想的通项公式，并加以证明．19.(本小题满分12分)如图在边长为4的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，在把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底盒子.（1）问切去的小正方形边长为多少时，盒子容积最大？最大容积是多少？（2）上述做法，材料有所浪费，如果可以对材料进行切割、焊接，请你重新设计一个方案，使材料浪费更少，且所得无盖的盒子的容积20.（本小题满分12分）已知函数．讨论函数的单调性．21.(本小题满分12分)已知，函数，若.证明：.22.（本小题满分12分）已知函数（Ⅰ）当时，求函数在点处的切线方程

6、；（Ⅱ）设，若函数在定义域内存在两个零点.求实数的取值范围。辽宁省实验中学2017-2018学年度下学期期中阶段测试高二理科数学科试卷参考答案：选择：ＤＢＣＤＣ，ＣＢＢＡＤ，ＢＡ13-16：9，，2892，517.解：注：其他方法酌情给分………10分18.解：（1）由已知，，分别取，得，，，，所以数列的前5项是：，．………4分（2）由（1）中的分析可以猜想．下面用数学归纳法证明：①当时，公式显然成立．②假设当时成立，即，那么由已知，得，即，所以，即，又由归纳假设，得，所以，即当时，公式也成立．由①和②知，对一切，都有成立．………12分19.解：（1）设切去的正方形边长为，则焊接成

7、的盒子的底面边长为4－2，高为.所以=(4－2)2·=4(－4+4),(0<<2)………5分∴=4(3－8+4).………5分令=0得x1=,x2=2（舍去）而=12(－)(－2)又当<时，>0,当<<2时，<0∴当=时盒子容积最大，最大容积是………9分方案：如下图a，在正方形的两个角处各切下一个边长为1的小正方形；如图b，将切下的小正方形焊接成长方形再焊在原正方形一边；如图c再焊成盒子图a图b图c新焊成的盒子的容积为：3×2×1=6,显然>故此方案符合要求。………12分20.解：