数学文化4微积分与人类文明

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1、第四讲：微积分与人类文明微积分诞生的时代背景宇宙探索与微积分牛顿的“流数术”莱布尼茨的微积分工作18世纪微积分的发展为微积分夯实基础微积分与人类文明一、微积分诞生的时代背景满足近代科学文明发展的需要满足近代技术文明产生的需要满足17世纪生产力水平的需要满足近代人类文明演化的需要微积分的萌芽在中国：公元前4世纪,桓团、公孙龙等提出的"一尺之棰,日取其半,万世不竭";公元3世纪刘徽的“割圆术“；公元5-6世纪祖冲之,祖暅（geng）对圆周率,面积和体积的研究(祖冲之在刘徽割圆术的基础上首先计算出了精确到小数点后7位的圆周率近似值,他还精确

2、地计算了地球的体积),都包含着微积分概念的萌芽.在欧洲：公元前3世纪欧几里得在几何《原本》中对不可公约量及面积和体积的研究,公元前3世纪阿基米德对面积及体积的进一步研究(穷竭法),也都包含着上述萌芽.满足近代技术与科学文明的需要欧洲文艺复兴之后,资本主义生产方式兴起,生产力有了较大的发展.到了16世纪,由于航海,机械制造以及军事上的需要,运动的研究成了自然科学中心议题.于是在数学中开始研究各种变化过程中变化的量(变量)间的依赖关系,变量的引进,形成了数学中的转折点.在伽利略等人的科学著作里面,都包含着微积分的初步想法.到了17世纪,生

3、产的发展提出了许多技术上的要求,而要实现技术要求必须有相应的科学知识。例如流体力学(与矿井的通风和排水有关),机械力学等都突飞猛进的发展。近代力学,天文学等近代理论应运而生在资本主义社会，贸易活动占有重要地位,与此相关的海运事业迅速发展,向外扩张的军事需要,也促进了航海的发展.航海需要精确而方便的确定位置(经纬度),预报气象,天文学因而发展起来。对经纬度测量的需要使人们进行了这样一系列研究:①对月亮与太阳及某一恒星距离的计算;②对木星卫星蚀的观察;③对月球穿越子午圈的观测;④摆钟及其他航海计时在海上的应用等等.科学与数学层面的问题有四

4、种主要类型的问题：第一类是，已知物体的移动的距离表为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度使瞬时变化率问题的研究成为当务之急；第二类是，望远镜的光程设计使得求曲线的切线问题变得不可回避；第三类是，确定炮弹的最大射程以及行星离开太阳的最远和最近距离等涉及函数极大值、极小值问题也急待解决；第四类问题是求行星沿轨道运动的路程、行星矢径扫过的面积以及物体重心与引力等，又使面积、体积、曲线长、重心和引力等微积分基本问题的计算被重新研究。17世纪上半叶，几乎所有的科学大师都致力于寻求解决这些问题的数学工具开普勒(J.Kepler,15

5、71-1630)与无限小元法。德国天文学家、数学家开普勒在1615年发表的《测量酒桶的新立体几何》中，论述了其利用无限小元求旋转体体积的积分法。他的无限小元法的要旨是用无数个同维无限小元素之和来确定曲边形的面积和旋转体的体积，如他认为球的体积是无数个顶点在球心、底面在球上的小圆锥的体积的和。卡瓦列里(B.Cavalieri,1598-1647)与不可分量法。意大利数学家卡瓦列里在其著作《用新方法推进的连续的不可分量的几何学》(1635)中系统地发展了不可分量法。他认为点运动形成线，线运动形成面，体则是由无穷多个平行平面组成，并分别把这

6、些元素叫做线、面和体的不可分量。他建立了一条关于这些不可分量的一般原理（后称卡瓦列里原理，即是我国的祖暅（geng）原理）：如果在等高处的横截面有相同的面积，两个有同高的立体有相同的体积.巴罗(I.Barrow,1630-1677)与“微分三角形”巴罗是英国的数学家，在1669年出版的著作《几何讲义》中，他利用微分三角形求出了曲线的斜率。他的方法的实质是把切线看作割线的极限位置，并利用忽略高阶无限小来取极限。巴罗是牛顿的老师，英国剑桥大学的第一任“卢卡斯数学教授”，也是英国皇家学会的首批会员。当他发现和认识到牛顿的杰出才能时，便于16

7、69年辞去卢卡斯教授的职位，举荐自己的学生—当时才27岁的牛顿来担任。巴罗让贤已成为科学史上的佳话。笛卡儿(R.Descartes,1596-1650)、费马（Fermat,1601-1665)和坐标方法。笛卡儿和费马是将坐标方法引进微分学问题研究的前锋。笛卡儿在《几何学》中提出的求切线的“圆法”以及费马手稿中给出的求极大值与极小值的方法，实质上都是代数的方法。代数方法对推动微积分的早期发展起了很大的作用，牛顿就是以笛卡儿的圆法为起点而踏上微积分的研究道路。期待牛顿与莱布尼兹17世纪上半叶一系列先驱性的工作，沿着不同方向向微积分的大门

8、逼近，但所有这些努力还不足以标志微积分作为一门独立科学的诞生。前驱者对于求解各类微积分问题确实做出了宝贵贡献，但他们的方法仍缺乏足够的一般性。虽然有人注意到这些问题之间的某些联系，但没有人将这些联系作为一般规律明确提出来