湘教出版九年级数学上册重要材料归纳分析学习总结

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1、#+九上第一章反比例函数(一)反比例函数1.()可以写成()的形式,注意自变量x的指数为,在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件;2.()也可以写成xy=k的形式,用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k,从而得到反比例函数的解析式;(二)反比例函数的图象与性质1.函数解析式:()2.自变量的取值范围:3.图象:反比例函数的图象:在用描点法画反比例函数的图象时,应注意自变量x的取值不能为0,且x应对称取点(关于原点对称). (1)图象的形状:双曲线越大,图象的弯曲度越小,曲线越平直.越小,图象的弯曲度

2、越大. (2)图象的位置和性质:自变量,函数图象与x轴、y轴无交点,两条坐标轴是双曲线的渐近线.  当时,图象的两支分别位于一、三象限;在每个象限内,y随x的增大而减小;  当时,图象的两支分别位于二、四象限;在每个象限内,y随x的增大而增大. (3)对称性:图象关于原点对称,若(a,b)在双曲线的一支上,(,)在双曲线的另一支上.图象关于直线对称,即若(a,b)在双曲线的一支上,则(,)和(,)在双曲线的另一支上.  4.k的几何意义:如图1,设点P(a,b)是双曲线上任意一点,作PA⊥x轴于A点,PB⊥y轴于B

3、点,则矩形PBOA的面积是(三角形PAO和三角形PBO的面积都是#+).  如图2,由双曲线的对称性可知,P关于原点的对称点Q也在双曲线上,作QC⊥PA的延长线于C,则有三角形PQC的面积为.                    图1       图2 5.说明:  (1)双曲线的两个分支是断开的,研究反比例函数的增减性时,要将两个分支分别讨论,不能一概而论.(2)直线与双曲线的关系:当时,两图象没有交点;当时,两图象必有两个交点,且这两个交点关于原点成中心对称.(三)反比例函数的应用  1、求函数解析式的方法:

4、(1)待定系数法;(2)根据实际意义列函数解析式.2、反比例函数与一次函数的联系.3、充分利用数形结合的思想解决问题.第二章一元二次方程(一)一元二次方程1、只含有一个未知数的整式方程(分母不含未知数),且都可以化为(a、b、c为常数,a≠0)的形式,这样的方程叫一元二次方程。2、把(a、b、c为常数,a≠0)称为一元二次方程的一般式,a为二次项系数;b为一次项系数;c为常数项(包括符号)。(二)一元二次方程的解法1、直接开平方法:如果方程化成的形式,那么可得;如果方程能化成 (p≥0)的形式,那么进而得出方程的根

5、。2、配方法:配方式基本步骤:①把方程化成一元二次方程的一般形式;②将二次项系数化成1;③把常数项移到方程的右边;④两边加上一次项系数的一半的平方;⑤把方程转化成左边为一个完全平方式,右边化为一个常数;两边开方求其根。3、公式法(注意在找a、b、c时须先把方程化为一般形式)4、分解因式法把方程的一边变成0,另一边变成两个一次因式的乘积来求解。(主要包括“提公因式”和“十字相乘”)#+(三)一元二次方程根的判别式判别式⊿=b2-4ac与根的关系:当b2-4ac>0时,则方程有两个不等的实数根;当b2-4ac=0时,则

6、方程有两个相等的实数根;当b2-4ac≥0时,则方程有两个实数根;当b2-4ac<0时,则方程无实数根(,上述结论反之也成立,但注意都同时要满足二次项系数a≠0)(四)一元二次方程根与系数的关系:1、根与系数关系:如果一元二次方程的两根分别为x1、x2,则有:.(韦达定理)2、一元二次方程的两根与系数的关系的作用:(1)已知方程的一根,求另一根;(2)不解方程,求二次方程的根x1、x2的对称代数式的值,特别注意以下公式:①②③④⑤⑥⑦其他能用或表达的代数式。(3)已知方程的两根x1、x2,可以构造一元二次方程:,(

7、4)已知两数x1、x2的和与积,求此两数的问题,可以转化为求一元二次方程的两根。(五)一元二次方程的应用1、配方法作用:一元二次方程配方可以解该方程:(a≠0)(两边同时除以a得)(一次项系数除以2并写成完全平方式得)(可作为公式记忆)。。。。。。2、二次代数式配方可以求最值(应用题常考):二次代数式提取二次项系数a得(不能同时除以二次项系数a)合并常数项得(作为公式记忆,一步化到位)此时可知当时,有最大值()最大值为当时,有最小值()最小值为#+3、平均增长率问题:(设月增长率为)①一月产量为,二、三月平均增长率

8、为,三月产量为,则有②一月产量为,二、三月平均增长率为,第一季度产量为,则有4、翻几番增长率问题:(设年增长率为)①两年翻一番,则,解得(次数2是指两年翻了两次,翻一番指起初数量a变成2a)②两年翻两番,则,解得(次数2是指两年翻了两次,翻一番指起初数量a变成2a,再翻一番就变成了4a)5、互相握手、互相送礼问题:①互相握手:(是指人数)②互相送礼:(是指人

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