晶体学14种空间点阵型式的对称性分析与导出

晶体学14种空间点阵型式的对称性分析与导出

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1、第24卷第4期大学化学2009年8月自学之友晶体学14种空间点阵型式的对称性分析与导出齐兴义(北京航空航天大学化学与环境学院北京100191)摘要依据7个晶系的特征对称元素和正当点阵单位的划分规则,分析了各晶系空间点阵型式的生成过程,从而确定晶体学14种空间点阵型式(简立方(cP)、体心立方(cI)、面心立方(cF)、简六方(hP)、简四方(tP)、体心四方(tI)、R心六方(hR)、简正交(oP)、C心正交(oC)、体心正交(oI)、面心正交(oF)、简单斜(mP)、C心单斜(mC)和简三斜(aP))是合理的逻辑演绎

2、结果。晶体是由微观粒子(原子、离子或分子)在三维空间周期性地重复排列而形成的固体物质,与晶体结构周期性对应的一个重要数学概念为点阵。依据特征对称元素,晶体分为7个晶系(立方、六方、四方、三方、正交、单斜和三斜),依据特征对称元素和正当点阵单位的划分规则,晶体的点阵分为14种空间点阵型式(简立方(cP)、体心立方(cI)、面心立方(cF)、简六方(hP)、简四方(tP)、体心四方(tI)、R心六方(hR)、简正交(oP)、C心正交(oC)、体心正交(oI)、面心正交(oF)、简单斜(mP)、C心单斜(mC)和简三斜(aP

3、))。法国科学家Bravias于1866年推导出上述14种空间点阵型式,故14种空间点阵型式又称为Bravias点阵型式。然而,14种空间点阵型式的严格数学推导过程繁杂冗长,致使国内外许多有关晶体学、固体化学和结构化学的教材只是列举14种空间点阵型式,而对其来龙去脉或是只做部分说明,或无任[125]何解释。正当点阵单位的划分规则共有4条,分别是:①选择最高轴次的对称轴方向为晶轴矢量(正当点阵单位的棱边矢量)方向;②正当点阵单位应能反映点阵的点对称性;③尽可能使晶轴矢量相互交成直角;④在满足以上3个规则的前题下,正当点阵

4、单位的平行六面体单元所含的点阵点应为最少或平行六面体单元的体积为最小。本文以7个晶系的特征对称元素和正当点阵单位的划分规则为逻辑分析的基础,全面阐述各晶系的合理空间点阵型式。作为教学总结,作者希望本文对国内同仁的相关化学教学能有启发与帮助。1立方晶系立方晶系的特征对称元素为4×3,空间点阵型式有简立方(cP)、体心立方(cI)和面心立方(cF),所属点群为Oh。以cP为例,4×3在三维空间的配置如图1所示。由图1可见,4×3分别贯穿cP的顶角点阵点,如图1所示的特征对称元素配置同样适用于cI和cF。与正交晶系相比,立方

5、晶系无C心格子,原因是立方晶系的4×3所产生的特征对称性不允许出现C心立方,即立方晶系的特征对称性不允许在cP的上下两个底的几何中心再各加59图1立方晶系的cP和4×3上一个点阵点。需指出的是若加C心于cP,得到的无限点集合———“C心立方(cC)”亦为一点阵。如图2所示,“cC”的特征对称元素不是4×3,而是1×4,所属点群为D4h。显然,在4对称性不降低的条件下,依据正当点阵单位的划分规则④,可将“cC”(含2个点阵点)经图2所示的划分转变成简四方(tP(含1个点阵点))。“cC”和“C心四方(tC)”有相同的对称

6、性,“tC”的划分见本文第3部分(四方晶系)。图2“C心立方(cC)”和简四方(tP)2六方晶系六方晶系的特征对称元素为1×6,空间点阵型式只有简六方(hP),所属点群为D6h。6和hP在三维空间的配置如图3所示。因受6特征对称性的限制,六方晶系无任何加心(C心、I心和F心)空间点阵型式。以加C心为例,与cP加C心相同,hP经加C心得到的“C心六方(hC)”虽为一点阵,但已无6。如图4所示,因C心的加入,“hC”沿晶轴矢量c方向的对称轴是2,所属点群为D2h,划分出的正当点阵单位为简正交(oP)。作为一般规律,可以证明

7、由加C心、I心或F心于7个晶系的素格子而得到的无限点集合仍为一点阵,经加A2B心、A2C心或B2C得到的无限点集合则不是点阵(A2B心格子的加心方式是在素格子的平行六面体的前后面和左右面的几何中心同时加点,而不在上下两个底的几何中心加点的一种加点方式)。图3六方晶系的hP和1×6因此,加I心和F心于hP而得到的无限点集合“体心六方(hI)”和“F心立方(hF)”均为60图4“C心六方(hC)”和简正交(oP)点阵,所属点群为D2h(图5和图6)。经图5和图6所示的划分,“hI”和“hF”分别转变成面心正交(oF)和体心

8、正交(oI)。图5“体心六方(hI)”和面心正交(oF)图6“面心六方(hF)”和体心正交(oI)3四方晶系四方晶系的特征对称元素为1×4,空间点阵型式有简四方(tP)和体心四方(tI),所属点群为D4h。4和tP的几何关系如图7所示。与cP和hP加C心不同,四方晶系的4特征对称性允许加C心或F心于tP,加心后的点阵所属点群仍为D

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