2019年高考数学 高频考点名师揭秘与仿真测试 专题07 函数 函数的基本性质 --函数的周期性 理

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1、07函数函数的基本性质--函数的周期性【考点讲解】一、具本目标：了解函数的周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．二、知识概述：1.函数的周期性(1)对于函数f(x)，如果存在一个__非零常数__T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有__f(x＋T)＝f(x)__，那么函数f(x)就叫做周期函数，T叫做这个函数的周期．(2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的__最小__正周期．2.函数周期性的常用结论对f(x)定义域内任一自变量x的值：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a

2、>0)；(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0)；(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0)．3.函数的对称性与周期性的关系(1)如果函数f(x)(x∈D)在定义域内有两条对称轴x＝a，x＝b(a

3、，且周期T＝4

4、b－a

5、.注：对于(1)(2)(3)中的周期公式可仿照正、余弦函数的图象加强记忆．判断函数的周期只需证明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题．3．根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期．【真题分析】1.【2018新课标II卷11】已知是定义域为的奇函数，满足．若，则（）A．B．0C．2D．50.因为，，由可得从而，选C.【答案】C2.【2018·河南南阳模拟】函数

6、f(x)是周期为4的偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)＝x－1，则不等式xf(x)>0在[－1,3]上的解集为(　　)A．(1,3)　　　B．(－1,1)C．(－1,0)∪(1,3)　　　D．(－1,0)∪(0,1)【解析】　f(x)的图象如图．当x∈[－1,0)时，由xf(x)>0得x∈(－1,0)；当x∈[0,1)时，xf(x)>0无解；当x∈[1,3]时，由xf(x)>0得x∈(1,3)．故x∈(－1,0)∪(1,3)．【答案】C【变式】（1）【2014·安徽高考】若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f(x)＝

7、则＝________.又因为f(x)是奇函数，所以有【答案】【变式】（2）【2017山东】已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当时,,则f(919)=【解析】由f(x+4)=f(x-2)可知,是周期函数,且,所以.在此范围内，且时，设，且互质，若，则由，可设，且互质.从而，则，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此，于是不可能与内的部分对应相等，所以只需要考虑与每个周期内部分的交点.如图所示，通过函数的草图分析，图中交点除外，其它交点均为的部分．且当时，，所以在附近只有一个交点，因而方程解的个数为个．故填．【答案】8【模

8、拟考场】1.（2016山东理9）已知函数的定义域为.当时，；当时，；当时，，则（）.A.B.C.D.【解析】由知，当时，的周期为，所以.又当时，，所以.于是.故选D.【答案】D2.【2014·大纲全国卷】奇函数f(x)的定义域为R.若f(x＋2)为偶函数，且f(1)＝1，则f(8)＋f(9)＝(　　)A．－2B．－1C．0D．1【答案】　D3．【2014·安徽高考】设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sinx．当0≤x<π时，f(x)＝0，则＝(　　)A.B.C．0D．－【解析】　因为f(x＋π)＝f(x)＋sinx，所以f(x＋2π)

9、＝f(x＋π)－sinx.所以f(x＋2π)＝f(x)＋sinx－sinx＝f(x)．所以f(x)是以2π为周期的周期函数．又，，所以..因为当0≤x<π时，f(x)＝0，所以，所以.故选A.【答案】　A4.已知，方程在［0，1］内有且只有一个根，则在区间内根的个数为（）A．2011B．1006C．2013D．1007【答案】C5.【2017湖南统一考试】已知定义域为的奇函数满足，且当时，，则（）A.-2B.C.3D.【解析】因为奇函数满足，所以，即周期为3，所以，故选D．【答案】D6.【2016高考四川文科】已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当

10、0＜x＜1时，，则=.【解析】因为函数是定义在上周期为2的奇函数，所以，所以，即，，所以.【答