2019年高考数学 高频考点名师揭秘与仿真测试 专题32 平面向量 平面向量的数量积 理

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1、32平面向量平面向量的数量积【考点讲解】一、具本目标：1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.考纲解读：1.以考查向量的数量积、夹角、模为主，基本稳定为选择题或填空题，难度较低；2.与三角函数、解析几何等相结合，以工具的形式进行考查，中等难度，但是解决以上问题的桥梁.3.备考重点：(1)理解数量积的概念是基础，掌握数量积的两种运算的方法是关键；(2)解答与平面几何、三角函数、解析几何等交汇问题

2、时，注意运用数形结合的数学思想，通过建立平面直角坐标系，利用坐标运算解题.二、知识概述：一）主要公式：1.向量的数量积：已知两个非零向量、，它们的夹角为，则·=.若=(,),=(,)，则·=.2.向量的模：若=，则

3、

4、=.3.两向量的夹角余弦值：.4.向量垂直的等价条件：.二）主要知识点：1.两个向量的夹角（1）定义：已知两个非零向量和，作＝，＝，则∠AOB＝θ叫做向量与的夹角．（2）夹角范围：向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°与同向时，夹角θ＝0°；与反向时，夹角θ＝180°.（3）向量垂直：如果向量与的夹角是90°，则与垂直，记作⊥.2.平面向量数量积：（1

5、）已知两个非零向量与，则数量叫做与的数量积，记作，即＝，其中θ是与的夹角．规定.当⊥时，θ＝90°，这时.（2）的几何意义：数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积．3.向量数量积的性质：（1），.（2）(θ为与的夹角).（3）.4.数量积的运算律（1）交换律：.（2）分配律：（3）对.5.数量积的坐标运算：设，有下面的结论：（1）.（2）.（3）（4）(θ为与的夹角).【真题分析】1.【2018年天津卷文】在如图的平面图形中，已知,则的值为（）A.-15B.-9C.-6D.0【答案】C2.【2017北京，理6】设为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的A.充分而

6、不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】如果存在负数，使得，此时两向量方向相反，夹角为180°，一，两向量的数量积为：成立.如果，此时两向量的夹角在90°到180°之间，两向量不一定是相反方向，也就是不一定存在一个负数，使得成立，所以是充分不必要条件.【答案】A3.【2014山东.理12】在中，已知，当时，的面积为________.【答案】4.【2016高考浙江理数】已知向量,，若对任意单位向量，均有,则的最大值是．【解析】本题考点是平面向量的数量积及不等式的性质的具体应用．由题意可知，即最大值为.【答案】5.【2015高考天

7、津，文13】在等腰梯形ABCD中,已知,点E和点F分别在线段BC和CD上,且则的值为．【解析】本题考点是平面向量的数量积及向量的线性运算，在等腰梯形ABCD中,由∥,得,,,所以=【答案】6.【2016·江苏卷】如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，·＝4，·＝－1，则·的值是________．则【答案】7.【2017课标1，理13】已知向量的夹角为60°，，，则.【解析】本题考点是平面向量的数量积公式的运用，法一：由题意可知所以.【答案】法二：利用如下图形，可以判断出的模长是以2为边长的菱形对角线的长度，由平面几何的知识可以求出菱形对

8、角线的长为.【答案】8.【2017山东，理12】已知是互相垂直的单位向量，若与的夹角为，则实数的值是.【答案】【模拟考场】1.已知向量，，则（）A．2B．-2C．-3D．4【答案】A2.已知非零向量m，n满足4│m│=3│n│，cos=.若n⊥（tm+n），则实数t的值为（）A.4B.–4C.D.–【解析】由，可设，又，所以.所以，故选B.【答案】B3.已知△ABC是边长为1的等边三角形，点分别是边的中点，连接并延长到点，使得，则的值为（）A.B.C.D.【解析】设，，∴，，，∴，故选B.【答案】B4.已知向量与的夹角为60°，，，则在方向上的投影为（）

9、A．B．2C．D．3【答案】A5.设向量，，且，则的值为__________．【解析】因为，所以有，可以得到，则，应填答案.【答案】26.在中，，，.若，，且，则的值为___________.【解析】由题意可知：，，=，所以可得.【答案】7.已知，，，若向量满足，则的取值范围是__________．【答案】8.已知两个不共线的向量，它们的夹角为θ，且，x为正实数．(1)若与垂直，求tanθ；(2)若θ＝，求的最小值及对应的x的值，并判断此时向量与是否垂直．【解析】(1)因为与垂直，所以.所以，所以32－2×3×1×cosθ－8×12＝0，所以cosθ＝，又θ∈(0

10、，π)，s