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《2019届高考数学二轮复习 专题四 第2讲 椭圆、抛物线、双曲线学案》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第2讲椭圆、抛物线、双曲线1.圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点;2直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点,尤其是有关弦长计算及存在性问题;3.数学运算(数的运算、代数式运算)也是这里的考查要求之一.1.圆锥曲线的定义(1)椭圆:
2、MF1
3、+
4、MF2
5、=2a(2a>
6、F1F2
7、);(2)双曲线:
8、
9、MF1
10、-
11、MF2
12、
13、=2a(2a<
14、F1F2
15、);(3)抛物线:
16、MF
17、=d(d为M点到准线的距离).2.圆锥曲线的标准方程(1)椭圆:+=1(a>b>0)(焦点在x轴上)或+=1(a>b>0)(焦点在y轴上);(2)双曲线:-=1(a>0,b>0
18、)(焦点在x轴上)或-=1(a>0,b>0)(焦点在y轴上);(3)抛物线:y2=2px,y2=-2px,x2=2py,x2=-2py(p>0).3.圆锥曲线的重要性质(1)椭圆、双曲线中a,b,c之间的关系①在椭圆中:a2=b2+c2;离心率为e==.②在双曲线中:c2=a2+b2;离心率为e==.(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标①双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x;焦点坐标F1(-c,0),F2(c,0).②双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,焦点坐标F1(0,-c),F2(0,c).(3)抛物线的焦点
19、坐标与准线方程①抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,准线方程x=-.②抛物线x2=2py(p>0)的焦点F,准线方程y=-.4.弦长问题(1)直线与圆锥曲线相交的弦长设而不求,利用根与系数的关系,进行整体代入.即当斜率为k,直线与圆锥曲线交于A(x1,y1),B(x2,y2)时,
20、AB
21、=
22、x1-x2
23、=.(2)过抛物线焦点的弦长抛物线y2=2px(p>0)过焦点F的弦AB,若A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=,y1y2=-p2,弦长
24、AB
25、=x1+x2+p.热点一 圆锥曲线的几何性质【例1】(2018·哈三中)如果双曲线的两个
26、焦点分别为F1(-3,0)、F2(3,0),一条渐近线方程为y=2x,那么经过双曲线焦点且垂直于x轴的弦的长度为()A.43B.23C.2D.1解析因为双曲线的两个焦点分别F1-3,0,F23,0,—条渐近线方程为y=2x,∴a2+b2=9ba=2,解得a=3,b=6,双曲线的方程为x23-y26=1,由x23-y26=1x=3⇒y=23,所以经过双曲线焦点且垂直于x轴的弦的长度为2×23=43.答案A探究提高 1.分析圆锥曲线中a,b,c,e各量之间的关系是求解圆锥曲线性质问题的关键.2.确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围,其关键就是确立一个
27、关于a,b,c的方程(组)或不等式(组),再根据a,b,c的关系消掉b得到a,c的关系式.建立关于a,b,c的方程(组)或不等式(组),要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.3.求双曲线渐近线方程关键在于求或的值,也可将双曲线等号右边的“1”变为“0”,然后因式分解得到.【训练1】(1)(2017·全国Ⅲ卷)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为()A.B.C.D.(2)(2016·北京卷)双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线为正方
28、形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点,若正方形OABC的边长为2,则a=________.解析 (1)以线段A1A2为直径的圆是x2+y2=a2,直线bx-ay+2ab=0与圆相切,所以圆心(0,0)到直线的距离d==a,整理为a2=3b2,即=.∴e=====.(2)取B为双曲线右焦点,如图所示.∵四边形OABC为正方形且边长为2,∴c=
29、OB
30、=2,又∠AOB=,∴=tan=1,即a=b.又a2+b2=c2=8,∴a=2.答案 (1)A (2)2热点二 直线与圆锥曲线【例2】((2018·江南十校)已知椭圆C:x2a2+
31、y2b2=1(a>b>0),B为其短轴的一个端点,F1,F2分别为其左右两个焦点,已知三角形BF1F2的面积为2,且cos∠F1BF2=13.(1)求椭圆C的方程;(2)若动直线l:y=kx+m(m≠0,k2≠23)与椭圆C交于P(x1,y1),Q(x2,y2),M为线段PQ的中点,且x12+x22=3,求
32、OM
33、·
34、PQ
35、的最大值.解(1)由cos∠F1BF2=2a2-4c22a2=13⇒c2a2=13⇒a2=3c2,b2=2c2,cos∠F1BF2=13⇒sin∠F1BF2=223,结合SΔF1BF2=12a2·223=2⇒a2=3,⇒b2
36、=2,故椭圆C的方程为x23+y22=1;另解:依题意:SΔF1BF2=12×2cb=bc=2,cos∠F1BF2=2cos2∠F1BF22-1=13