2019届高考数学一轮复习 第八章 解析几何 课堂达标48 定点、定值、探索性问题 文 新人教版

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1、课堂达标(四十八)定点、定值、探索性问题[A基础巩固练]1．(2018·北京西城区模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)如图，椭圆左顶点为A，过原点O的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．试问以MN为直径的圆是否经过定点(与直线PQ的斜率无关)？请证明你的结论．[解]　(1)由短轴长为2，得b＝，由e＝＝＝，得a2＝4，b2＝2.所以椭圆C的标准方程为＋＝1.(2)以MN为直径的圆过定点F(±，0)．证

2、明如下：设P(x0，y0)，则Q(－x0，－y0)，且＋＝1，即x＋2y＝4，因为A(－2,0)，所以直线PA方程为y＝(x＋2)，所以M，直线QA方程为y＝(x＋2)，所以N，以MN为直径的圆为(x－0)(x－0)＋＝0，即x2＋y2－y＋＝0，因为x－4＝－2y，所以x2＋y2＋2y－2＝0，令y＝0，则x2－2＝0，解得x＝±.所以以MN为直径的圆过定点F(±，0)．2．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点F1(－1,0)，长轴长与短轴长的比是2∶.(1)求椭圆的方程；(2)过F1作两直线m，n交椭圆于

3、A，B，C，D四点，若m⊥n，求证：＋为定值．[解析]　(1)由已知得解得a＝2，b＝.故所求椭圆方程为＋＝1.(2)证明：由已知F1(－1,0)，当直线m不垂直于坐标轴时，可设直线m的方程为y＝k(x＋1)(k≠0)．由得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0.由于Δ＞0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1＋x2＝－，x1x2＝，

4、AB

5、＝＝＝.同理

6、CD

7、＝.所以＋＝＋＝＝.当直线m垂直于坐标轴时，此时

8、AB

9、＝3，

10、CD

11、＝4；或

12、AB

13、＝4，

14、CD

15、＝3，所以＋＝＋＝.综上，＋为定

16、值.3．(2018·安徽芜湖、马鞍山第一次质量检测)椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，点(，)为椭圆上的一点．(1)求椭圆E的标准方程；(2)若斜率为k的直线l过点A(0,1)，且与椭圆E交于C，D两点，B为椭圆E的下顶点，求证：对于任意的k，直线BC，BD的斜率之积为定值．[解]　(1)因为e＝，所以c＝a，a2＝b2＋2.　①又椭圆过点(，)，所以＋＝1.　②由①②，解得a2＝6，b2＝4，所以椭圆E的标准方程为＋＝1.(2)证明：设直线l：y＝kx＋1，联立得(3k2＋2)x2＋6kx－9＝0.设

17、C(x1，y1)，D(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝－，易知B(0，－2)，故kBC·kBD＝·＝·＝＝k2＋＋＝k2＋3k·－(3k2＋2)＝－2.所以对于任意的k，直线BC，BD的斜率之积为定值．4．(高考全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C：y＝与直线l：y＝kx＋a(a＞0)交于M，N两点，(1)当k＝0时，分别求C在点M和N处的切线方程；(2)y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM＝∠OPN？说明理由．[解]　(1)由题设可得M(2，a)，N(－2，a)，或M(－2，a)，N

18、(2，a)．又y′＝，故y＝在x＝2处的导数值为，C在点(2，a)处的切线方程为y－a＝(x－2)，即x－y－a＝0.y＝在x＝－2处的导数值为－，C在点(－2，a)处的切线方程为y－a＝－(x＋2)，即x＋y＋a＝0.故所求切线方程为x－y－a＝0和x＋y＋a＝0.(2)存在符合题意的点，证明如下：设P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2.将y＝kx＋a代入C的方程得x2－4kx－4a＝0.故x1＋x2＝4k，x1x2＝－4a.从而k1＋k2＝＋

19、＝＝.当b＝－a时，有k1＋k2＝0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故∠OPM＝∠OPN，所以点P(0，－a)符合题意．[B能力提升练]1．(2018·山东省实验中学高三段考)如图，椭圆C：＋＝1(a>b>0)经过点(0,1)，离心率e＝.(1)求椭圆C的方程；(2)设直线x＝my＋1与椭圆C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为A′(A′与B不重合)，则直线A′B与x轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由．[解]　(1)依题意可得，解得a＝2，b＝1.所以，

20、椭圆C的方程是＋y2＝1(2)由，得(my＋1)2＋4y2＝4，即(m2＋4)y2＋2my－3＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A′(x1，－y1)，且y1＋y2＝－，y1y2＝－.经过点A′(x1，－y1)，B(x2，y2)的直线方程为＝.令y＝0，则x＝y1＋x1＝＝.又∵x1＝my1＋1，x2＝my2＋1，∴当y＝0时，x＝＝＝＝4，这说明，直线A′B与x轴交于定点(4,0)．2．